Решить уравнение:125*2^4x - 9*20^(x+1) + 64*25^x =0

Для решения данного уравнения воспользуемся свойствами степеней и методом замены переменной. 1. Преобразование уравнения Исходное уравнение: $125\cdot 2^{4x}-9\cdot {20}^{x+1}+64\cdot {25}^x=0$Разложим основания и степени на более простые составляющие:

• $2^{4x}=(2^4{)}^x={16}^x$ (или $(2^2{)}^{2x}=4^{2x}$) ${20}^{x+1}=20\cdot {20}^x=20\cdot (4\cdot 5{)}^x=20\cdot 4^x\cdot 5^x$ ${25}^x=(5^2{)}^x=5^{2x}$

Подставим эти значения в уравнение: $125\cdot 4^{2x}-9\cdot 20\cdot 4^x\cdot 5^x+64\cdot 5^{2x}=0$ $125\cdot 4^{2x}-180\cdot 4^x\cdot 5^x+64\cdot 5^{2x}=0$2. Приведение к однородному уравнению Это однородное показательное уравнение второй степени. Чтобы решить его, разделим обе части уравнения на $5^{2x}$ (так как $5^{2x}\ne 0$ при любых $x$): $\frac{125\cdot 4^{2x}}{5^{2x}}-\frac{180\cdot 4^x\cdot 5^x}{5^{2x}}+\frac{64\cdot 5^{2x}}{5^{2x}}=0$ Упрощаем дроби: $125\cdot {\left(\frac{4}{5}\right)}^{2x}-180\cdot {\left(\frac{4}{5}\right)}^x+64=0$ 3. Замена переменной Пусть $t={\left(\frac{4}{5}\right)}^x$ , где $t>0$. Тогда уравнение принимает вид квадратного: $125t^2-180t+64=0$Найдем дискриминант $D$: $D=(-180{)}^2-4\cdot 125\cdot 64$ $D=32400-32000=400={20}^2$Находим корни $t$: $t_1=\frac{180+20}{2\cdot 125}=\frac{200}{250}=\frac{4}{5}$ $t_2=\frac{180-20}{2\cdot 125}=\frac{160}{250}=\frac{16}{25}$ 4. Обратная замена Случай 1: ${\left(\frac{4}{5}\right)}^x=\frac{4}{5}$ ${\left(\frac{4}{5}\right)}^x={\left(\frac{4}{5}\right)}^1⟹x_1=1$ Случай 2: ${\left(\frac{4}{5}\right)}^x=\frac{16}{25}$ ${\left(\frac{4}{5}\right)}^x={\left(\frac{4}{5}\right)}^2⟹x_2=2$ Ответ: $1;2$. Хотите, чтобы я проверил решение аналогичного уравнения или разобрал другой метод решения?