Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции y=4x-x2

Функция возрастает на промежутке $(-\infty ,2]$, убывает на промежутке $[2,+\infty )$, имеет точку максимума $x=2$ со значением $y_{max}=4$. Шаг 1: Нахождение производной функции Для определения промежутков монотонности и поиска экстремумов необходимо найти производную функции $y=4x-x^2$. Используя правила дифференцирования суммы и степенной функции, получаем: $y^{\prime }=(4x-x^2{)}^{\prime }=4-2x$Шаг 2: Определение критических точек Критические точки — это значения аргумента, при которых производная равна нулю или не существует. В данном случае производная определена на всей числовой прямой. Приравняем её к нулю: $4-2x=0$ $2x=4$ $x=2$Шаг 3: Исследование знака производной и монотонности Разделим область определения функции на интервалы точкой $x=2$ и определим знак производной $y^{\prime }=4-2x$ на каждом из них:

1. На интервале $(-\infty ,2)$: возьмем пробную точку $x=0$. Тогда $y^{\prime }\left(0\right)=4-0=4>0$. Производная положительна, следовательно, функция возрастает. На интервале $(2,+\infty )$: возьмем пробную точку $x=3$. Тогда $y^{\prime }\left(3\right)=4-6=-2<0$. Производная отрицательна, следовательно, функция убывает.

Шаг 4: Нахождение экстремумов Так как в точке $x=2$ производная меняет знак с плюса на минус, эта точка является точкой максимума. Вычислим значение функции в этой точке: $y\left(2\right)=4\cdot 2-2^2=8-4=4$Ответ: Функция возрастает на $(-\infty ,2]$, убывает на $[2,+\infty )$. Точка максимума $x_{max}=2$, значение максимума $y_{max}=4$. Укажите, требуется ли вам построение графика данной функции или нахождение точек пересечения с осями координат для завершения анализа.