1 найдите производные функции. а) y=x(4) - 2x(2) + 2 б) y= ctgx- 6sinz+e(x) в) y=5(x) + x(5) г) y-3x(4) * cos x д) y=x(5) * ln x 2) найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции. y= 2x(3) - 6x 3) найдите вторую производную функцию y = x(4) -6x(2) +5x

Question

1 найдите производные функции. а) y=x(4) - 2x(2) + 2 б) y= ctgx- 6sinz+e(x) в) y=5(x) + x(5) г) y-3x(4) * cos x д) y=x(5) * ln x 2) найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции. y= 2x(3) - 6x 3) найдите вторую производную функцию y = x(4) -6x(2) +5x

giga_hater 05.03.2026 11:39

Ответы и вопросы пользователей

Лебедев Дмитрий Сергеевич · Accepted Answer

Для функций из задания 1 производные равны: а) $y^{'} = 4 x^{3} - 4 x y prime equals 4 x cubed minus 4 x$ , б) $y^{'} = - \frac{1}{\sin^{2} x} - 6 \cos x + e^{x} y prime equals negative 1 over sine squared x end-fraction minus 6 cosine x plus e to the x-th power$ (при условии $z = x z equals x$ ), в) $y^{'} = 5^{x} \ln 5 + 5 x^{4} y prime equals 5 to the x-th power l n 5 plus 5 x to the fourth power$ , г) $y^{'} = 12 x^{3} \cos x - 3 x^{4} \sin x y prime equals 12 x cubed cosine x minus 3 x to the fourth power sine x$ , д) $y^{'} = 5 x^{4} \ln x + x^{4} y prime equals 5 x to the fourth power l n x plus x to the fourth power$ . Для функции задания 2 промежутки возрастания: $(- \infty, -1] \cup [1, + \infty) open paren negative infinity comma negative 1 close bracket union open bracket 1 comma positive infinity close paren$ , промежуток убывания: $[-1, 1] open bracket negative 1 comma 1 close bracket$ , точки экстремума: $x_{m a x} = -1 x sub m a x end-sub equals negative 1$ , $x_{m i n} = 1 x sub m i n end-sub equals 1$ . Для функции задания 3 вторая производная: $y^{''} = 12 x^{2} - 12 y double prime equals 12 x squared minus 12$ . Шаг 1: Нахождение производных функций Для решения используем основные правила дифференцирования и таблицу производных: $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1} open paren x to the n-th power close paren prime equals n x raised to the n minus 1 power$ , $(a^{x})^{'} = a^{x} \ln a open paren a to the x-th power close paren prime equals a to the x-th power l n a$ , $(\sin x)^{'} = \cos x open paren sine x close paren prime equals cosine x$ , $(ctg x)^{'} = - \frac{1}{\sin^{2} x} open paren ctg x close paren prime equals negative 1 over sine squared x end-fraction$ , а также правила производной произведения $(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'} open paren u v close paren prime equals u prime v plus u v prime$ . а) $y = x^{4} - 2 x^{2} + 2 y equals x to the fourth power minus 2 x squared plus 2$ $y^{'} = 4 x^{3} - 4 x y prime equals 4 x cubed minus 4 x$ б) $y = ctg x - 6 \sin x + e^{x} y equals ctg x minus 6 sine x plus e to the x-th power$ (предполагая, что $z z$ — это опечатка и переменная равна $x x$ ) $y^{'} = - \frac{1}{\sin^{2} x} - 6 \cos x + e^{x} y prime equals negative 1 over sine squared x end-fraction minus 6 cosine x plus e to the x-th power$ в) $y = 5^{x} + x^{5} y equals 5 to the x-th power plus x to the fifth power$ $y^{'} = 5^{x} \ln 5 + 5 x^{4} y prime equals 5 to the x-th power l n 5 plus 5 x to the fourth power$ г) $y = 3 x^{4} \cdot \cos x y equals 3 x to the fourth power center dot cosine x$ $y^{'} = (3 x^{4})^{'} \cos x + 3 x^{4} (\cos x)^{'} = 12 x^{3} \cos x - 3 x^{4} \sin x y prime equals open paren 3 x to the fourth power close paren prime cosine x plus 3 x to the fourth power open paren cosine x close paren prime equals 12 x cubed cosine x minus 3 x to the fourth power sine x$ д) $y = x^{5} \cdot \ln x y equals x to the fifth power center dot l n x$ $y^{'} = (x^{5})^{'} \ln x + x^{5} (\ln x)^{'} = 5 x^{4} \ln x + x^{5} \cdot \frac{1}{x} = 5 x^{4} \ln x + x^{4} y prime equals open paren x to the fifth power close paren prime l n x plus x to the fifth power open paren l n x close paren prime equals 5 x to the fourth power l n x plus x to the fifth power center dot 1 over x end-fraction equals 5 x to the fourth power l n x plus x to the fourth power$ Шаг 2: Исследование функции на монотонность и экстремумы Для функции $y = 2 x^{3} - 6 x y equals 2 x cubed minus 6 x$ найдем производную и приравняем ее к нулю:

Производная: y′=6x2−6y prime equals 6 x squared minus 6. Критические точки: 6x2−6=0x2=1x1=-1,x2=16 x squared minus 6 equals 0 implies x squared equals 1 implies x sub 1 equals negative 1 comma x sub 2 equals 1. Определение знаков:
- На интервале $(- \infty, -1) open paren negative infinity comma negative 1 close paren$ : $y^{'} > 0 y prime is greater than 0$ — функция возрастает. На интервале $(-1, 1) open paren negative 1 comma 1 close paren$ : $y^{'} < 0 y prime is less than 0$ — функция убывает. На интервале $(1, + \infty) open paren 1 comma positive infinity close paren$ : $y^{'} > 0 y prime is greater than 0$ — функция возрастает.
Точки экстремума: При переходе через x=-1x equals negative 1 знак меняется с +positive на −negative, это максимум. При переходе через x=1x equals 1 знак меняется с −negative на +positive, это минимум.

Шаг 3: Нахождение второй производной Для функции $y = x^{4} - 6 x^{2} + 5 x y equals x to the fourth power minus 6 x squared plus 5 x$ сначала найдем первую производную: $y^{'} = (x^{4} - 6 x^{2} + 5 x)^{'} = 4 x^{3} - 12 x + 5 y prime equals open paren x to the fourth power minus 6 x squared plus 5 x close paren prime equals 4 x cubed minus 12 x plus 5$ Затем найдем производную от полученного выражения (вторую производную): $y^{''} = (4 x^{3} - 12 x + 5)^{'} = 12 x^{2} - 12 y double prime equals open paren 4 x cubed minus 12 x plus 5 close paren prime equals 12 x squared minus 12$ Ответ:

а) $4 x^{3} - 4 x 4 x cubed minus 4 x$ ; б) $- \frac{1}{\sin^{2} x} - 6 \cos x + e^{x} negative 1 over sine squared x end-fraction minus 6 cosine x plus e to the x-th power$ ; в) $5^{x} \ln 5 + 5 x^{4} 5 to the x-th power l n 5 plus 5 x to the fourth power$ ; г) $12 x^{3} \cos x - 3 x^{4} \sin x 12 x cubed cosine x minus 3 x to the fourth power sine x$ ; д) $5 x^{4} \ln x + x^{4} 5 x to the fourth power l n x plus x to the fourth power$ . Возрастает на $(- \infty, -1] \cup [1, + \infty) open paren negative infinity comma negative 1 close bracket union open bracket 1 comma positive infinity close paren$ , убывает на $[-1, 1] open bracket negative 1 comma 1 close bracket$ . Точки: $x_{m a x} = -1, x_{m i n} = 1 x sub m a x end-sub equals negative 1 comma x sub m i n end-sub equals 1$ . $y^{''} = 12 x^{2} - 12 y double prime equals 12 x squared minus 12$ .

Нужно ли вам составить таблицу значений функции в точках экстремума или построить график на основе полученных данных?

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Математика»

Вопросы из других предметов