Найти экстремумы функции f(x) = -12x + x^3

Для нахождения экстремумов функции $f\left(x\right)=x^3-12x$ воспользуемся алгоритмом исследования функции с помощью производной. 1. Нахождение производной функции Сначала найдем первую производную функции: $f^{\prime }\left(x\right)=(x^3-12x{)}^{\prime }=3x^2-12$2. Определение критических точек Критические точки — это значения $x$, при которых производная равна нулю: $3x^2-12=0$ $3x^2=12$ $x^2=4$ $x_1=2,x_2=-2$3. Исследование знаков производной Разделим числовую прямую на интервалы полученными точками и определим знак $f^{\prime }\left(x\right)$ на каждом из них:

• Интервал $(-\infty ;-2)$: Возьмем $x=-3$. $f^{\prime }\left(-3\right)=3(-3{)}^2-12=27-12=15>0$. Производная положительна, функция возрастает. Интервал $(-2;2)$: Возьмем $x=0$. $f^{\prime }\left(0\right)=3(0{)}^2-12=-12<0$. Производная отрицательна, функция убывает. Интервал $(2;+\infty )$: Возьмем $x=3$. $f^{\prime }\left(3\right)=3(3{)}^2-12=27-12=15>0$. Производная положительна, функция возрастает.

4. Определение точек экстремума

• Точка максимума: В точке $x=-2$ производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, $x=-2$ — точка локального максимума. Точка минимума: В точке $x=2$ производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, $x=2$ — точка локального минимума.

5. Вычисление значений функции в точках экстремума Найдем ординаты (значения $y$) для этих точек:

• Для максимума:
  $f\left(-2\right)=(-2{)}^3-12(-2)=-8+24=16$ Для минимума:
  $f\left(2\right)=(2{)}^3-12(2)=8-24=-16$

Итоговый результат

Ответ: Точка максимума $(-2;16)$, точка минимума $(2;-16)$. Вы хотите, чтобы я также нашел точки перегиба этой функции?