(1/(5-lgx))+ (2/(1+lgx))< 1

Для решения неравенства $\frac{1}{5-\lg x}+\frac{2}{1+\lg x}<1$ воспользуемся методом замены переменной и интервалов. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Так как под знаком логарифма находится $x$, а сами логарифмы стоят в знаменателях:

• $x>0$ $5-\lg x\ne 0⟹\lg x\ne 5⟹x\ne {10}^5$ $1+\lg x\ne 0⟹\lg x\ne -1⟹x\ne 0.1$

2. Замена переменной Пусть $t=\lg x$. Перепишем неравенство: $\frac{1}{5-t}+\frac{2}{1+t}<1$ Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{1}{5-t}+\frac{2}{1+t}-1<0$ $\frac{(1+t)+2(5-t)-(5-t)(1+t)}{(5-t)(1+t)}<0$ Раскроем скобки в числителе:

• $(1+t)+(10-2t)-(5+5t-t-t^2)<0$ $11-t-(5+4t-t^2)<0$ $11-t-5-4t+t^2<0$ $t^2-5t+6<0$

Получаем упрощенное неравенство: $\frac{t^2-5t+6}{(5-t)(1+t)}<0$ 3. Решение относительно $t$ Разложим числитель на множители. Корни уравнения $t^2-5t+6=0$ по теореме Виета равны $t_1=2,t_2=3$. $\frac{(t-2)(t-3)}{(5-t)(1+t)}<0$ Для удобства умножим числитель и знаменатель на $-1$ (при этом знак неравенства сменится, если менять только один множитель, но мы просто перепишем $(5-t)$ как $-(t-5)$): $\frac{(t-2)(t-3)}{-(t-5)(t+1)}<0⟹\frac{(t-2)(t-3)}{(t-5)(t+1)}>0$ Определим знаки на интервалах для $t$: Точки разрыва и нули: $-1,2,3,5$.

• $t\in (-\infty ;-1)⟹(+)$ $t\in (-1;2)⟹(-)$ $t\in (2;3)⟹(+)$ $t\in (3;5)⟹(-)$ $t\in (5;+\infty )⟹(+)$

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля: $t<-1,2<t<3,t>5$4. Обратная замена Теперь вернемся к переменной $x$, учитывая, что $t=\lg x$:

1. $\lg x<-1⟹x<{10}^{-1}⟹x<0.1$. С учетом ОДЗ: $0<x<0.1$ $2<\lg x<3⟹{10}^2<x<{10}^3⟹$ $100<x<1000$ $\lg x>5⟹$ $x>100000$

Ответ: $x\in (0;0.1)\cup (100;1000)\cup (100000;+\infty )$ Будет ли вам полезно разобрать аналогичное задание с натуральным логарифмом?