1/(cos^2x)+ 1/ (sin(x-pi/2))=2

Для решения уравнения $\frac{1}{{\cos }^{2}x}+\frac{1}{\sin (x-\pi /2)}=2$ воспользуемся тригонометрическими формулами и приведем уравнение к алгебраическому виду. 1. Упрощение тригонометрических выражений Сначала упростим знаменатель второй дроби, используя формулы приведения: $\sin (x-\pi /2)=-\sin (\pi /2-x)=-\cos x$Теперь исходное уравнение принимает вид: $\frac{1}{{\cos }^{2}x}-\frac{1}{\cos x}=2$ 2. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Знаменатели не должны быть равны нулю:

• $\cos x\ne 0⟹x\ne \pi /2+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

3. Решение через замену переменной Пусть $t=\frac{1}{\cos x}$ . Тогда уравнение становится квадратным: $t^2-t-2=0$Найдем корни через дискриминант или по теореме Виета:

• $t_1=2$ $t_2=-1$

4. Обратная замена Рассмотрим оба случая для $t=\frac{1}{\cos x}$ : Случай 1: $t=2$ $\frac{1}{\cos x}=2⟹\cos x=\frac{1}{2}$ $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Случай 2: $t=-1$ $\frac{1}{\cos x}=-1⟹\cos x=-1$ $x=\pi +2\pi m,m\in \mathbb{Z}$5. Проверка ОДЗ и итоговый ответ Все полученные значения $x$ входят в область допустимых значений (так как в этих точках $\cos x$ равен $1/2$ или $-1$, а не $0$). Ответ: $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k;x=\pi +2\pi m;k,m\in \mathbb{Z}$ Я могу выполнить отбор корней для этого уравнения на определенном промежутке, если это необходимо.