Решите уравнение 7tg^2x-1/cosx+1=0

Для решения уравнения $7{\text{tg}}^{2}x-\frac{1}{\cos x}+1=0$ воспользуемся тригонометрическими тождествами и приведем его к квадратному уравнению относительно одной функции. 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Так как в уравнении присутствуют $\text{tg}x$ и дробь с $\cos x$ в знаменателе, необходимо исключить значения, при которых знаменатель равен нулю: $\cos x\ne 0⟹x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ 2. Преобразование уравнения Используем основное тригонометрическое тождество для замены тангенса: ${\text{tg}}^{2}x=\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1-{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1$ Подставим это выражение в исходное уравнение: $7(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1)-\frac{1}{\cos x}+1=0$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $\frac{7}{{\cos }^{2}x}-7-\frac{1}{\cos x}+1=0$ $\frac{7}{{\cos }^{2}x}-\frac{1}{\cos x}-6=0$ 3. Введение новой переменной Пусть $t=\frac{1}{\cos x}$ . Тогда уравнение принимает вид квадратного: $7t^2-t-6=0$Найдем дискриминант: $D=(-1{)}^2-4\cdot 7\cdot (-6)=1+168=169={13}^2$Корни уравнения: $t_1=\frac{1+13}{14}=1$ $t_2=\frac{1-13}{14}=-\frac{12}{14}=-\frac{6}{7}$ 4. Обратная замена Случай 1: $\frac{1}{\cos x}=1⟹\cos x=1$ $x=2\pi k,k\in \mathbb{Z}$(Эти значения входят в ОДЗ) Случай 2: $\frac{1}{\cos x}=-\frac{6}{7}⟹\cos x=-\frac{7}{6}$ Так как $\left|\cos x\right|\le 1$, а $|-\frac{7}{6}|>1$ , данное уравнение не имеет решений. Ответ: $x=2\pi k,k\in \mathbb{Z}$Я могу помочь вам произвести отбор корней на заданном промежутке, если это необходимо. Желаете продолжить?