Cos(3π/2-2x)=√2 sinx

Для решения уравнения $\cos (\frac{3\pi }{2}-2x)=\sqrt{2}\sin x$ воспользуемся формулами приведения и тригонометрическими тождествами. 1. Упрощение левой части Согласно формулам приведения, функция меняется на кофункцию, так как аргумент содержит $\frac{3\pi }{2}$ (вертикальная ось). Угол $(\frac{3\pi }{2}-2x)$ находится в III четверти, где косинус отрицателен. $\cos (\frac{3\pi }{2}-2x)=-\sin \left(2x\right)$ 2. Подстановка в уравнение Теперь уравнение принимает вид: $-\sin \left(2x\right)=\sqrt{2}\sin x$ Применим формулу синуса двойного угла $\sin \left(2x\right)=2\sin x\cos x$: $-2\sin x\cos x=\sqrt{2}\sin x$ 3. Перенос слагаемых и разложение на множители Перенесем всё в одну сторону, чтобы избежать деления на неизвестное (которое могло бы привести к потере корней): $\sqrt{2}\sin x+2\sin x\cos x=0$ Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки: $\sin x(\sqrt{2}+2\cos x)=0$ 4. Решение полученных уравнений Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Случай А: $\sin x=0$ $x=\pi k,k\in \mathbb{Z}$Случай Б: $\sqrt{2}+2\cos x=0$ $2\cos x=-\sqrt{2}$ $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ Для решения используем общую формулу $x=\pm \arccos \left(a\right)+2\pi n$: $x=\pm (\pi -\frac{\pi }{4})+2\pi n$ $x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=\pi k;x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n;k,n\in \mathbb{Z}$ Если вам необходимо произвести отбор корней на конкретном промежутке, я могу помочь с этим расчетом.