1)найти промежутки возрастания и убывания точки экстремума функции y=3x^2-x^32)док-ть что функция f(x)=2x^5+4x^3+3x -7 на множестве r возрастающая.3) на графике функции y=(х+1) черта дроби (х+2) найдите точки, в которых касательная параллельна прямой у=х-3

Для функции $y=3x^2-x^3$ промежутками убывания являются $(-\infty ,0]$ и $[2,+\infty )$, промежутком возрастания — $[0,2]$, точкой минимума — $x=0$, точкой максимума — $x=2$; функция $f\left(x\right)=2x^5+4x^3+3x-7$ является возрастающей, так как её производная всегда положительна; искомые точки для функции $y=\frac{x+1}{x+2}$ — $(-1,0)$ и $(-3,2)$. Шаг 1: Исследование первой функции на экстремумы и монотонность Для нахождения промежутков монотонности и точек экстремума функции $y=3x^2-x^3$ вычислим её производную: $y^{\prime }=6x-3x^2=3x(2-x)$ Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x(2-x)=0x_1=0,x_2=2$ Определим знаки производной на интервалах:

1. На $(-\infty ,0)$: $y^{\prime }\left(-1\right)=3\left(-1\right)(2-(-1\left)\right)=-9<0$ — функция убывает. На $(0,2)$: $y^{\prime }\left(1\right)=3\left(1\right)(2-1)=3>0$ — функция возрастает. На $(2,+\infty )$: $y^{\prime }\left(3\right)=3\left(3\right)(2-3)=-9<0$ — функция убывает.
   Точка $x=0$ является точкой минимума (смена знака с «-» на «+»), а $x=2$ — точкой максимума (смена знака с «+» на «-»).

Шаг 2: Доказательство возрастания функции на всей числовой прямой Функция $f\left(x\right)=2x^5+4x^3+3x-7$ определена и дифференцируема на $\mathbb{R}$. Найдем её производную: $f^{\prime }\left(x\right)=10x^4+12x^2+3$ Проанализируем полученное выражение:

1. Так как $x^4\ge 0$ и $x^2\ge 0$ для любого действительного $x$, то $10x^4\ge 0$ и $12x^2\ge 0$. Следовательно, $10x^4+12x^2+3\ge 3$ для всех $x\in \mathbb{R}$.
   Так как производная строго положительна ( $f^{\prime }\left(x\right)>0$) на всем множестве $\mathbb{R}$, то по достаточному признаку монотонности функция $f\left(x\right)$ является возрастающей на $\mathbb{R}$.

Шаг 3: Нахождение точек касания Касательная к графику функции $y=\frac{x+1}{x+2}$ параллельна прямой $y=x-3$, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент прямой равен 1, следовательно, значение производной в искомых точках должно быть равно 1. Вычислим производную функции по правилу дифференцирования дроби: $y^{\prime }=\frac{1\cdot (x+2)-1\cdot (x+1)}{(x+2{)}^2}=\frac{x+2-x-1}{(x+2{)}^2}=\frac{1}{(x+2{)}^2}$ Приравняем производную к 1: $\frac{1}{(x+2{)}^2}=1(x+2{)}^2=1$ Решим уравнение:

1. $x+2=1x_1=-1$ $x+2=-1x_2=-3$
   Найдем соответствующие ординаты точек:
   $y_1=\frac{-1+1}{-1+2}=0$
   $y_2=\frac{-3+1}{-3+2}=\frac{-2}{-1}=2$

Ответ:

1. Возрастает на $[0,2]$, убывает на $(-\infty ,0]\cup [2,+\infty )$. Точки экстремума: $x_{min}=0,x_{max}=2$.
2. Функция возрастает, так как $f^{\prime }\left(x\right)=10x^4+12x^2+3>0$ при любых $x$. Точки $(-1,0)$ и $(-3,2)$.

Хотите ли вы разобрать геометрический смысл производной более подробно или перейти к вычислению второй производной для исследования выпуклости этих функций?