Определить тангенс угла наклона касательной к кривой в данной точке y=1/x+1 при x=0

Для определения тангенса угла наклона касательной к графику функции в заданной точке необходимо найти значение производной функции в этой точке. Геометрический смысл производной заключается в том, что $f^{\prime }\left(x_0\right)=\tan \alpha$, где $\alpha$ — угол наклона касательной к оси $Ox$. 1. Анализ функции Дана функция: $y=\frac{1}{x+1}$ Точка касания: $x=0$. 2. Нахождение производной Для дифференцирования воспользуемся правилом производной сложной функции или формулой для производной частного. Представим функцию в виде степени: $y=(x+1{)}^{-1}$Применяем правило $\frac{d}{dx}\left[u^n\right]=n\cdot u^{n-1}\cdot u^{\prime }$ : $y^{\prime }=-1\cdot (x+1{)}^{-2}\cdot \frac{d}{dx}(x+1)$ $y^{\prime }=-\frac{1}{(x+1{)}^2}\cdot 1$ $y^{\prime }=-\frac{1}{(x+1{)}^2}$ 3. Вычисление значения в точке $x=0$ Подставим значение абсциссы точки касания в полученное выражение для производной: $f^{\prime }\left(0\right)=-\frac{1}{(0+1{)}^2}$ $f^{\prime }\left(0\right)=-\frac{1}{1^2}$ $f^{\prime }\left(0\right)=-1$Ответ Так как значение производной в точке $x=0$ равно $-1$, то тангенс угла наклона касательной равен: $\tan \alpha =-1$ (Это соответствует углу наклона в ${135}^{\circ }$ или $\frac{3\pi }{4}$ радиан). Я могу также составить для вас уравнение этой касательной в полном виде, если это необходимо.