1)sin^4x-cos^4x=sin2x-1/22) sin^4x+cos^4x=cos^2 2x

Ниже представлено подробное решение двух тригонометрических уравнений с использованием основных тождеств и формул двойного угла. Задание 1 ${\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x=\sin 2x-\frac{1}{2}$ 1. Разложение левой части: Левую часть можно разложить как разность квадратов: $({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x)({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=\sin 2x-\frac{1}{2}$ 2. Упрощение с помощью тождеств: Так как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, а ${\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x=-({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)=-\cos 2x$, уравнение принимает вид: $-\cos 2x=\sin 2x-\frac{1}{2}$ 3. Приведение к стандартному виду: $\sin 2x+\cos 2x=\frac{1}{2}$ 4. Метод введения вспомогательного угла: Разделим обе части на $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ : $\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x=\frac{1}{2\sqrt{2}}$ $\sin (2x+\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{4}$ 5. Нахождение корней: $2x+\frac{\pi }{4}=(-1{)}^k\arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $2x=-\frac{\pi }{4}+(-1{)}^k\arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)+\pi k$ $x=-\frac{\pi }{8}+\frac{(-1{)}^k}{2}\arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)+\frac{\pi k}{2},k\in \mathbb{Z}$ Задание 2 ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x={\cos }^{2}2x$1. Преобразование левой части: Выделим полный квадрат: ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$ $1-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1-\frac{1}{2}(2\sin x\cos x{)}^2=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x$ 2. Подстановка в уравнение: $1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x={\cos }^{2}2x$ 3. Использование основного тождества для правой части: Заменим ${\cos }^{2}2x$ на $1-{\sin }^{2}2x$: $1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x=1-{\sin }^{2}2x$ 4. Решение относительно $\sin 2x$: Перенесем слагаемые с синусом в одну сторону, а числа в другую: ${\sin }^{2}2x-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x=1-1$ $\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x=0$ $\sin 2x=0$5. Нахождение корней: $2x=\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $x=\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}$ Я могу также выполнить проверку этих корней на определенном интервале или решить другие тригонометрические задачи.