2log2(-x)=1+log2(x+4)

Для решения уравнения $2{\log }_2(-x)=1+{\log }_2(x+4)$ воспользуемся свойствами логарифмов и определим область допустимых значений (ОДЗ). 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Логарифм определен только для положительных чисел. Составим систему неравенств:

• $-x>0⟹x<0$ $x+4>0⟹x>-4$

ОДЗ: $x\in (-4;0)$ 2. Преобразование уравнения Используем свойство степени логарифма $n{\log }_a\left(b\right)={\log }_a\left(b^n\right)$ и представим единицу как ${\log }_2\left(2\right)$: ${\log }_2\left(\right(-x{)}^2)={\log }_2(2)+{\log }_2(x+4)$Поскольку $(-x{)}^2=x^2$, уравнение принимает вид: ${\log }_2\left(x^2\right)={\log }_2\left(2\right)+{\log }_2(x+4)$Применим свойство суммы логарифмов ${\log }_a\left(b\right)+{\log }_a\left(c\right)={\log }_a(b\cdot c)$: ${\log }_2\left(x^2\right)={\log }_2\left(2\right(x+4\left)\right)$3. Решение квадратного уравнения Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы: $x^2=2(x+4)$ $x^2=2x+8$ $x^2-2x-8=0$Для нахождения корней воспользуемся теоремой Виета или дискриминантом:

• Сумма корней $x_1+x_2=2$ Произведение корней $x_1\cdot x_2=-8$

Получаем два корня:

1. $x_1=4$ $x_2=-2$

4. Проверка по ОДЗ Сверим полученные корни с установленными границами $x\in (-4;0)$:

• $x=4$: Не входит в ОДЗ (так как $4>0$). Этот корень является посторонним. $x=-2$: Входит в ОДЗ (так как $-4<-2<0$).

Ответ: $-2$ Я могу также решить аналогичное логарифмическое уравнение с другим основанием или подготовить для вас систему неравенств на основе этих данных. Желаете продолжить?