3*2^2x-5*6^x+2*3^2x=0

Для решения уравнения $3\cdot 2^{2x}-5\cdot 6^x+2\cdot 3^{2x}=0$ воспользуемся методом приведения к однородному уравнению. 1. Преобразование уравнения Заметим, что $6^x$ можно представить как $(2\cdot 3{)}^x=2^x\cdot 3^x$. Перепишем уравнение: $3\cdot (2^x{)}^2-5\cdot (2^x\cdot 3^x)+2\cdot (3^x{)}^2=0$Это однородное уравнение второй степени относительно $2^x$ и $3^x$. 2. Деление на $(3^x{)}^2$ Так как $3^{2x}$ никогда не равно нулю для любых действительных $x$, мы можем разделить обе части уравнения на $3^{2x}$ (или $(3^x{)}^2$): $\frac{3\cdot 2^{2x}}{3^{2x}}-\frac{5\cdot 2^x\cdot 3^x}{3^{2x}}+\frac{2\cdot 3^{2x}}{3^{2x}}=0$ Упростим каждое слагаемое: $3\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x}-5\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^x+2=0$ 3. Введение новой переменной Пусть $t={\left(\frac{2}{3}\right)}^x$ . При этом $t>0$. Получаем квадратное уравнение: $3t^2-5t+2=0$4. Решение квадратного уравнения Найдем дискриминант: $D=(-5{)}^2-4\cdot 3\cdot 2=25-24=1$Находим корни $t$: $t_1=\frac{5+\sqrt{1}}{2\cdot 3}=\frac{6}{6}=1$ $t_2=\frac{5-\sqrt{1}}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ Оба корня удовлетворяют условию $t>0$. 5. Обратная подстановка Вернемся к переменной $x$:

1. Для $t_1=1$:
   ${\left(\frac{2}{3}\right)}^x=1$ Любое число в нулевой степени равно 1, следовательно:
   $x_1=0$ Для $t_2=\frac{2}{3}$ :
   ${\left(\frac{2}{3}\right)}^x=\frac{2}{3}$ Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:
   $x_2=1$

Ответ: $0;1$. Я могу составить для вас аналогичную задачу для закрепления материала или разобрать более сложный пример с логарифмами. Хотите попробовать решить похожий пример самостоятельно?