3x-7 ------- ≤0 решите уравнение x2-4

Чтобы решить рациональное неравенство $\frac{3x-7}{x^2-4}\le 0$ , необходимо определить знаки выражения на различных промежутках числовой прямой. 1. Нахождение критических точек Для начала найдем значения $x$, при которых числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (так как на ноль делить нельзя).

• Числитель:
  $3x-7=0$
  $3x=7$
  $x=\frac{7}{3}\approx 2.33$ (точка закрашенная, так как неравенство нестрогое $\le$) Знаменатель:
  $x^2-4\ne 0$
  $(x-2)(x+2)\ne 0$
  $x\ne 2$ и $x\ne -2$ (точки выколотые)

2. Определение знаков на интервалах Расставим полученные точки на числовой прямой в порядке возрастания: -2, 2 и 2.33. Они делят прямую на четыре интервала. Проверим знак выражения $f\left(x\right)=\frac{3x-7}{(x-2)(x+2)}$ в каждом из них:

1. $(-\infty ;-2)$: Возьмем $x=-3$.
   $\frac{3\left(-3\right)-7}{(-3{)}^2-4}=\frac{-16}{5}$ минус (—) $(-2;2)$: Возьмем $x=0$.
   $\frac{0-7}{0-4}=\frac{-7}{-4}=1.75$ плюс (+) $(2;2.33]$: Возьмем $x=2.1$.
   $\frac{3\left(2.1\right)-7}{(2.1{)}^2-4}=\frac{6.3-7}{4.41-4}=\frac{-0.7}{0.41}$ минус (—) $[2.33;+\infty )$: Возьмем $x=3$.
   $\frac{3\left(3\right)-7}{3^2-4}=\frac{2}{5}$ плюс (+)

3. Формирование ответа Нас интересуют промежутки, где выражение меньше или равно нулю ( $\le 0$). Это интервалы со знаком «минус».

• Первый интервал: $(-\infty ;-2)$ Второй интервал: $(2;\frac{7}{3}]$

Важное примечание: Число $-2$ и $2$ исключаются (круглые скобки), так как они обращают знаменатель в ноль. Число $\frac{7}{3}$ включается (квадратная скобка), так как в этой точке выражение равно нулю. Ответ: $x\in (-\infty ;-2)\cup (2;2.33]$или в виде дроби: $x\in (-\infty ;-2)\cup (2;\frac{7}{3}]$ Я могу также построить график этой функции или решить аналогичное неравенство с другими коэффициентами, если это потребуется.