Исследовать функцию y=1/2x^4-3x^2+2

Для полного исследования функции $y=\frac{1}{2}{x}^4-3x^2+2$ воспользуемся стандартным алгоритмом дифференциального исчисления. 1. Область определения и общие свойства

• Область определения: Функция является многочленом, поэтому она определена на всей числовой прямой: $D\left(y\right)=(-\infty ;+\infty )$. Четность: Проверим условие $f(-x)=f\left(x\right)$:
  $f(-x)=\frac{1}{2}(-x{)}^4-3(-x{)}^2+2=\frac{1}{2}{x}^4-3x^2+2=f\left(x\right)$ .
  Функция четная, её график симметричен относительно оси $Oy$. Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения, вертикальных асимптот нет.

2. Точки пересечения с осями координат

• С осью $Oy$: Положим $x=0$.
  $y=\frac{1}{2}(0{)}^4-3(0{)}^2+2=2$ . Точка (0; 2). С осью $Ox$: Положим $y=0$.
  $\frac{1}{2}{x}^4-3x^2+2=0$
  Пусть $t=x^2$ ( $t\ge 0$), тогда: $t^2-6t+4=0$.
  $D=36-16=20$.
  $t_1=\frac{6+\sqrt{20}}{2}=3+\sqrt{5}\approx 5.24⟹x\approx \pm 2.29$ .
  $t_2=\frac{6-\sqrt{20}}{2}=3-\sqrt{5}\approx 0.76⟹x\approx \pm 0.87$ .

3. Исследование с помощью первой производной Найдем критические точки, вычислив производную $y^{\prime }$: $y^{\prime }=(\frac{1}{2}{x}^4-3x^2+2{)}^{\prime }=2x^3-6x$ . Приравняем к нулю: $2x(x^2-3)=0$ $x_1=0,x_2=-\sqrt{3},x_3=\sqrt{3}$ . Интервалы монотонности:

• $(-\infty ;-\sqrt{3})$ : $y^{\prime }<0$ — функция убывает. $(-\sqrt{3};0)$ : $y^{\prime }>0$ — функция возрастает. $(0;\sqrt{3})$ : $y^{\prime }<0$ — функция убывает. $(\sqrt{3};+\infty )$ : $y^{\prime }>0$ — функция возрастает.

Точки экстремума:

• $x=-\sqrt{3}$ : минимум. $y(-\sqrt{3})=\frac{1}{2}\left(9\right)-3\left(3\right)+2=4.5-9+2=-2.5$ . $x=0$: максимум. $y\left(0\right)=2$. $x=\sqrt{3}$ : минимум. $y\left(\sqrt{3}\right)=-2.5$ .

4. Исследование с помощью второй производной Найдем точки перегиба и характер выпуклости: $y^{\prime \prime }=(2x^3-6x{)}^{\prime }=6x^2-6$. Приравняем к нулю: $6(x^2-1)=0⟹x=\pm 1$. Интервалы выпуклости:

• $(-\infty ;-1)$ и $(1;+\infty )$: $y^{\prime \prime }>0$ — график вогнутый (выпуклость вниз). $(-1;1)$: $y^{\prime \prime }<0$ — график выпуклый (выпуклость вверх).

Точки перегиба: При $x=\pm 1$, $y=\frac{1}{2}\left(1\right)-3\left(1\right)+2=-0.5$ . Точки перегиба: (-1; -0.5) и (1; -0.5). 5. Поведение на бесконечности $\underset{x\pm \infty }{\lim }(\frac{1}{2}{x}^4-3x^2+2)=+\infty$ . Наклонных асимптот нет, так как степень многочлена выше 1. Сводная таблица характерных точек

Я могу составить таблицу значений функции для построения точного графика по точкам, если это необходимо.