4^(2x+2)+4^(x+1)-1=0

Для решения уравнения $4^{2x+2}+4^{x+1}-1=0$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Упрощение выражения Используя свойства степеней $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$ и $(a^m{)}^n=a^{mn}$, преобразуем слагаемые:

• $4^{2x+2}=4^{2(x+1)}=(4^{x+1}{)}^2$ Второе слагаемое оставляем без изменений: $4^{x+1}$

Уравнение принимает вид: $(4^{x+1}{)}^2+4^{x+1}-1=0$2. Введение новой переменной Пусть $t=4^{x+1}$. Заметим, что так как основание степени положительно, то $t>0$. Теперь уравнение становится квадратным: $t^2+t-1=0$3. Решение квадратного уравнения Найдем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$: $D=1^2-4\cdot 1\cdot \left(-1\right)=1+4=5$Находим корни $t$: $t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$ У нас есть два значения:

1. $t_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\approx 0.618$ (подходит, так как $t>0$) $t_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\approx -1.618$ (не подходит, так как $t$ должно быть больше 0)

4. Обратная подстановка Возвращаемся к переменной $x$, используя $t_1$: $4^{x+1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 4: ${\log }_4\left(4^{x+1}\right)={\log }_4\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$ $x+1={\log }_4\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$ Выразим $x$: $x={\log }_4\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)-1$ 5. Альтернативная форма записи Ответ можно упростить или записать через натуральный логарифм: $x=\frac{\ln (\sqrt{5}-1)-\ln \left(2\right)}{\ln \left(4\right)}-1$ Или, учитывая, что $1={\log }_4\left(4\right)$: $x={\log }_4\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2\cdot 4}\right)={\log }_4\left(\frac{\sqrt{5}-1}{8}\right)$ Ответ: $x={\log }_4\left(\frac{\sqrt{5}-1}{8}\right)$ Я могу помочь с проверкой этого решения или решить аналогичное логарифмическое уравнение, если это необходимо.