Sin2x-2√3cos²x-4sinx+4√3cosx=0

Для решения уравнения $\sin 2x-2\sqrt{3}{\cos }^{2}x-4\sin x+4\sqrt{3}\cos x=0$ воспользуемся методами тригонометрических преобразований и разложения на множители. 1. Преобразование уравнения Используем формулу двойного угла для синуса: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Подставим это в исходное уравнение: $2\sin x\cos x-2\sqrt{3}{\cos }^{2}x-4\sin x+4\sqrt{3}\cos x=0$ 2. Группировка слагаемых Разделим выражение на две части для вынесения общего множителя:

1. Из первых двух слагаемых вынесем $2\cos x$. Из вторых двух слагаемых вынесем $-4$.

$(2\sin x\cos x-2\sqrt{3}{\cos }^{2}x)+(-4\sin x+4\sqrt{3}\cos x)=0$ $2\cos x(\sin x-\sqrt{3}\cos x)-4(\sin x-\sqrt{3}\cos x)=0$ 3. Разложение на множители Теперь вынесем общий множитель $(\sin x-\sqrt{3}\cos x)$ : $(\sin x-\sqrt{3}\cos x)(2\cos x-4)=0$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. 4. Решение полученных уравнений Случай А: $2\cos x-4=0$ $2\cos x=4$ $\cos x=2$ Так как область значений функции косинус $[-1,1]$, уравнение $\cos x=2$ не имеет решений. Случай Б: $\sin x-\sqrt{3}\cos x=0$ Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части на $\cos x$ (при условии, что $\cos x\ne 0$, так как если $\cos x=0$, то $\sin x$ должен быть равен $0$, что невозможно одновременно). $\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\sqrt{3}\cos x}{\cos x}=0$ $\text{tg}x-\sqrt{3}=0$ $\text{tg}x=\sqrt{3}$ Находим корни: $x=\frac{\pi }{3}+\pi n,\text{где}n\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=\frac{\pi }{3}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Я могу помочь произвести отбор корней на конкретном числовом промежутке, если это необходимо. Напишите, если нужно добавить этот шаг.