5^(2x+1)+4×5^(x)-1>0.

Для решения данного показательного неравенства воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Преобразование уравнения Сначала упростим выражение, используя свойства степеней: $5^{2x+1}=5^1\cdot 5^{2x}=5\cdot (5^x{)}^2$Теперь перепишем исходное неравенство: $5\cdot (5^x{)}^2+4\cdot 5^x-1>0$2. Замена переменной Пусть $5^x=t$. Важно помнить, что показательная функция всегда положительна, поэтому вводим ограничение: $t>0$. Подставим $t$ в неравенство: $5t^2+4t-1>0$3. Решение квадратного неравенства Для начала найдем корни квадратного трехчлена $5t^2+4t-1=0$. Воспользуемся формулой дискриминанта: $D=b^2-4ac=4^2-4\cdot 5\cdot \left(-1\right)=16+20=36$Находим корни $t$: $t_1=\frac{-4+\sqrt{36}}{2\cdot 5}=\frac{-4+6}{10}=\frac{2}{10}=0,2$ $t_2=\frac{-4-\sqrt{36}}{2\cdot 5}=\frac{-4-6}{10}=-1$ Так как коэффициент перед $t^2$ положителен ( $5>0$), парабола направлена ветвями вверх. Решением неравенства $5t^2+4t-1>0$ являются интервалы: $t<-1\text{или}t>0,2$4. Обратная замена Вернемся к переменной $x$, учитывая условие $t>0$.

1. Случай $t<-1$:
   $5^x<-1$ — решений нет, так как $5^x$ всегда больше нуля. Случай $t>0,2$:
   $5^x>0,2$Представим $0,2$ как степень пятерки: $0,2=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}=5^{-1}$ .
   $5^x>5^{-1}$

Так как основание степени $5>1$, знак неравенства при переходе к показателям сохраняется: $x>-1$Ответ: $x\in (-1;+\infty )$Я могу составить для вас аналогичное задание для закрепления материала или разобрать систему неравенств с показательными функциями. Хотите продолжить?