Построить график функции найти ее область определения и область значений y=(x+1)4/3+4

Для функции $y=(x+1{)}^{4/3}+4$ ниже представлен подробный анализ характеристик и описание графика. 1. Область определения ( $D\left(f\right)$) Выражение представляет собой степенную функцию с рациональным показателем $4/3$.

• Знаменатель показателя (3) является нечетным числом, что означает извлечение корня третьей степени: $\sqrt[3]{(x+1{)}^4}$ . Корень нечетной степени определен для любого действительного числа. Следовательно: $D\left(f\right)=(-\infty ;+\infty )$ или $x\in \mathbb{R}$.

2. Область значений ( $E\left(f\right)$) Рассмотрим поведение функции:

• Выражение $(x+1{)}^{4/3}$ можно переписать как $\left(\right(x+1{)}^{1/3}{)}^4$. Поскольку показатель степени (4) — четное число, значение этого выражения всегда неотрицательно: $(x+1{)}^{4/3}\ge 0$. Минимальное значение достигается при $x=-1$, где $(x+1{)}^{4/3}=0$. Прибавляя константу 4, получаем: $y\ge 0+4$. Следовательно: $E\left(f\right)=[4;+\infty )$.

3. Исследование функции для построения графика

4. Описание графика График данной функции по форме напоминает параболу, но с более "крутым" ростом и специфической вершиной.

1. Сдвиг: Базовый график $y=x^{4/3}$ смещен на 1 единицу влево по оси $OX$ и на 4 единицы вверх по оси $OY$. Форма: В точке $(-1;4)$ график имеет локальный минимум. В этой точке производная $y^{\prime }=\frac{4}{3}(x+1{)}^{1/3}$ равна нулю, поэтому график плавно выходит из вершины (в отличие от модуля $\left|x\right|$, где есть острый угол). Симметрия: График симметричен относительно вертикальной прямой $x=-1$.

Построение по точкам:

• $x=-9⟹y=(-8{)}^{4/3}+4=16+4=20$ $x=-2⟹y=(-1{)}^{4/3}+4=1+4=5$ $x=-1⟹y=4$ $x=0⟹y=5$ $x=7⟹y=8^{4/3}+4=16+4=20$

Я могу составить таблицу значений с более мелким шагом или помочь с вычислением производной для исследования функции на экстремумы, если это необходимо.