Arccos(x)-arcsin(x)=п/6

Для решения уравнения $\arccos \left(x\right)-\arcsin \left(x\right)=\frac{\pi }{6}$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством для обратных функций. Пошаговое решение:

1. Использование тождества:
   Известно, что для любого $x\in [-1,1]$ выполняется равенство:
   $\arcsin \left(x\right)+\arccos \left(x\right)=\frac{\pi }{2}$ [1.2.13, 1.2.7]. Выражение одной функции через другую:
   Из этого тождества выразим $\arcsin \left(x\right)$:
   $\arcsin \left(x\right)=\frac{\pi }{2}-\arccos \left(x\right)$ [1.3.6]. Подстановка в исходное уравнение:
   Подставим полученное выражение в исходное уравнение $\arccos \left(x\right)-\arcsin \left(x\right)=\frac{\pi }{6}$ :
   $\arccos \left(x\right)-(\frac{\pi }{2}-\arccos (x\left)\right)=\frac{\pi }{6}$ Раскрытие скобок и упрощение:
   $\arccos \left(x\right)-\frac{\pi }{2}+\arccos \left(x\right)=\frac{\pi }{6}$
   $2\arccos \left(x\right)-\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{6}$ Изоляция $\arccos \left(x\right)$:
   Перенесем $-\frac{\pi }{2}$ в правую часть уравнения:
   $2\arccos \left(x\right)=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{2}$
   Приведем к общему знаменателю (6):
   $2\arccos \left(x\right)=\frac{\pi +3\pi }{6}=\frac{4\pi }{6}=\frac{2\pi }{3}$ Разделим обе части на 2:
   $\arccos \left(x\right)=\frac{\pi }{3}$ [1.3.5]. Нахождение значения $x$:
   По определению арккосинуса:
   $x=\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)$ Используя таблицу значений тригонометрических функций:
   $x=\frac{1}{2}$ (или 0,5).

Проверка:

• $\arccos (0,5)=\frac{\pi }{3}$ (или 60°) $\arcsin (0,5)=\frac{\pi }{6}$ (или 30°) $\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}=\frac{2\pi -\pi }{6}=\frac{\pi }{6}$
  Равенство верно.

Ответ: $x=0,5$ Хотите ли вы разобрать решение других типов уравнений с обратными тригонометрическими функциями?