|5x-3| -|7x-4|=2x-1, решить

Question

|5x-3| -|7x-4|=2x-1, решить

LonelyMedic 06.03.2026 16:08

Ответы и вопросы пользователей

Лебедев Дмитрий Сергеевич · Accepted Answer

Для решения уравнения $| 5 x - 3 | - | 7 x - 4 | = 2 x - 1 the absolute value of 5 x minus 3 end-absolute-value minus the absolute value of 7 x minus 4 end-absolute-value equals 2 x minus 1$ воспользуемся методом интервалов. Нам необходимо определить точки, в которых выражения под знаком модуля обращаются в ноль, чтобы раскрыть модули на разных промежутках. 1. Нахождение критических точек Приравняем выражения внутри модулей к нулю:

$5 x - 3 = 0 ⟹ x = \frac{3}{5} = 0.6 5 x minus 3 equals 0 ⟹ x equals three-fifths equals 0.6$ $7 x - 4 = 0 ⟹ x = \frac{4}{7} \approx 0.57 7 x minus 4 equals 0 ⟹ x equals four-sevenths is approximately equal to 0.57$

Расположим точки на числовой прямой в порядке возрастания: $\frac{4}{7} four-sevenths$ и $\frac{3}{5} three-fifths$ . Эти точки делят прямую на три интервала. 2. Раскрытие модулей по интервалам Интервал 1: $x < \frac{4}{7} x is less than four-sevenths$ На этом промежутке оба выражения под модулем отрицательны.

$| 5 x - 3 | = - (5 x - 3) = -5 x + 3 the absolute value of 5 x minus 3 end-absolute-value equals negative open paren 5 x minus 3 close paren equals negative 5 x plus 3$ $| 7 x - 4 | = - (7 x - 4) = -7 x + 4 the absolute value of 7 x minus 4 end-absolute-value equals negative open paren 7 x minus 4 close paren equals negative 7 x plus 4$

Подставляем в уравнение: $(-5 x + 3) - (-7 x + 4) = 2 x - 1 open paren negative 5 x plus 3 close paren minus open paren negative 7 x plus 4 close paren equals 2 x minus 1$ $-5 x + 3 + 7 x - 4 = 2 x - 1 negative 5 x plus 3 plus 7 x minus 4 equals 2 x minus 1$ $2 x - 1 = 2 x - 1 2 x minus 1 equals 2 x minus 1$ Полученное равенство $0 = 0 0 equals 0$ верно для любого $x x$ из данного интервала. Решение на интервале: $x \in (- \infty, \frac{4}{7}) x is an element of open paren negative infinity comma four-sevenths close paren$ . Интервал 2: $\frac{4}{7} \leq x < \frac{3}{5} four-sevenths is less than or equal to x is less than three-fifths$ Здесь $7 x - 4 7 x minus 4$ уже положительно (или ноль), а $5 x - 3 5 x minus 3$ все еще отрицательно.

$| 5 x - 3 | = -5 x + 3 the absolute value of 5 x minus 3 end-absolute-value equals negative 5 x plus 3$ $| 7 x - 4 | = 7 x - 4 the absolute value of 7 x minus 4 end-absolute-value equals 7 x minus 4$

Подставляем в уравнение: $(-5 x + 3) - (7 x - 4) = 2 x - 1 open paren negative 5 x plus 3 close paren minus open paren 7 x minus 4 close paren equals 2 x minus 1$ $-5 x + 3 - 7 x + 4 = 2 x - 1 negative 5 x plus 3 minus 7 x plus 4 equals 2 x minus 1$ $-12 x + 7 = 2 x - 1 negative 12 x plus 7 equals 2 x minus 1$ $-14 x = -8 negative 14 x equals negative 8$ $x = \frac{8}{14} = \frac{4}{7} x equals 8 over 14 end-fraction equals four-sevenths$ Число $\frac{4}{7} four-sevenths$ входит в рассматриваемый диапазон. Решение на интервале: $x = \frac{4}{7} x equals four-sevenths$ . Интервал 3: $x \geq \frac{3}{5} x is greater than or equal to three-fifths$ На этом промежутке оба выражения положительны.

$| 5 x - 3 | = 5 x - 3 the absolute value of 5 x minus 3 end-absolute-value equals 5 x minus 3$ $| 7 x - 4 | = 7 x - 4 the absolute value of 7 x minus 4 end-absolute-value equals 7 x minus 4$

Подставляем в уравнение: $(5 x - 3) - (7 x - 4) = 2 x - 1 open paren 5 x minus 3 close paren minus open paren 7 x minus 4 close paren equals 2 x minus 1$ $5 x - 3 - 7 x + 4 = 2 x - 1 5 x minus 3 minus 7 x plus 4 equals 2 x minus 1$ $-2 x + 1 = 2 x - 1 negative 2 x plus 1 equals 2 x minus 1$ $-4 x = -2 negative 4 x equals negative 2$ $x = \frac{2}{4} = 0.5 x equals two-fourths equals 0.5$ Проверяем условие: $0.5 < 0.6 0.5 is less than 0.6$ (или $\frac{1}{2} < \frac{3}{5} one-half is less than three-fifths$ ), следовательно, этот корень не входит в данный интервал. Решение на интервале: нет решений. 3. Объединение результатов Из первого интервала мы получили луч $(- \infty, \frac{4}{7}) open paren negative infinity comma four-sevenths close paren$ , а второй интервал добавил точку граничного значения $\frac{4}{7} four-sevenths$ . Таким образом, решением уравнения является все множество чисел от минус бесконечности до $\frac{4}{7} four-sevenths$ включительно. Ответ: $x \in (- \infty, \frac{4}{7}] x is an element of open paren negative infinity comma four-sevenths close bracket$ Я могу также помочь с графическим анализом этой функции или решить другое уравнение с модулями. Хотите, чтобы я построил график левой и правой частей уравнения?

|5x-3| -|7x-4|=2x-1, решить

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Математика»

Вопросы из других предметов