6tgx-10ctgx+7=0 решите тригонометрическое уравнение

Для решения уравнения $6\text{tg}x-10\text{ctgx}+7=0$ воспользуемся связью между тангенсом и котангенсом. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Уравнение содержит $\text{tg}x$ и $\text{ctg}x$, поэтому должны выполняться следующие условия:

• $\cos x\ne 0⟹x\ne \frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $\sin x\ne 0⟹x\ne \pi k,k\in \mathbb{Z}$

Это можно объединить в одно условие: $x\ne \frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}$ . 2. Преобразование уравнения Используем тождество $\text{ctg}x=\frac{1}{\text{tg}x}$ . Подставим его в исходное уравнение: $6\text{tg}x-\frac{10}{\text{tg}x}+7=0$ Введем замену переменной: пусть $t=\text{tg}x$, где $t\ne 0$. $6t-\frac{10}{t}+7=0$ Умножим всё уравнение на $t$: $6t^2+7t-10=0$3. Решение квадратного уравнения Найдем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$: $D=7^2-4\cdot 6\cdot \left(-10\right)=49+240=289$ $\sqrt{D}=\sqrt{289}=17$ Находим корни $t$: $t_1=\frac{-7+17}{2\cdot 6}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$ $t_2=\frac{-7-17}{2\cdot 6}=\frac{-24}{12}=-2$ 4. Обратная замена Теперь вернемся к переменной $x$, решив два простейших тригонометрических уравнения: Случай 1: $\text{tg}x=\frac{5}{6}$ $x_1=\text{arctg}\left(\frac{5}{6}\right)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Случай 2: $\text{tg}x=-2$ $x_2=\text{arctg}\left(-2\right)+\pi n=-\text{arctg}\left(2\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$Оба полученных значения входят в ОДЗ. Ответ: $x=\text{arctg}\left(\frac{5}{6}\right)+\pi k$ ; $x=-\text{arctg}\left(2\right)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$. Могу ли я помочь вам с решением других тригонометрических задач или систем уравнений?