1)найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющими переменными xy'+y=0 2)найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными (1-x^2)dx/dy + xy =0, если x=0, y=4. 3)найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка x^2 +y^2-2xy*y'=0 4)найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка y- 4y'+ 4y=0, 5)найти частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка y+4y'-5y=0, если x=0, y=4, y'=2

Общим решением уравнения $x{y}^{\prime }+y=0$ является функция $y=\frac{C}{x}$ . Частное решение уравнения $(1-x^2)y^{\prime }+xy=0$ при условиях $x=0,y=4$ имеет вид $y=4\sqrt{1-x^2}$ . Решением однородного уравнения $x^2+y^2-2xy\cdot y^{\prime }=0$ является семейство окружностей $x^2-y^2=Cx$. Общее решение уравнения $y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+4y=0$ записывается как $y=(C_1+C_{2}x)e^{2x}$. Частное решение уравнения $y^{\prime \prime }+4y^{\prime }-5y=0$ при $y\left(0\right)=4,y^{\prime }\left(0\right)=2$ равно $y=\frac{11}{3}{e}^x+\frac{1}{3}{e}^{-5x}$ . ️ Шаг 1: Нахождение общего решения уравнения первого порядка с разделяющимися переменными Для уравнения $x{y}^{\prime }+y=0$ представим производную как $y^{\prime }=\frac{dy}{dx}$ и разделим переменные: $x\frac{dy}{dx}=-y$ $\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}$ Интегрируя обе части, получаем: $\ln \left|y\right|=-\ln \left|x\right|+\ln \left|C\right|$ $\ln \left|y\right|=\ln \left|\frac{C}{x}\right|⟹y=\frac{C}{x}$ ️ Шаг 2: Нахождение частного решения при начальных условиях Рассмотрим уравнение $(1-x^2)y^{\prime }+xy=0$ (предполагая стандартную запись $y=y\left(x\right)$ для начального условия $x=0,y=4$): $(1-x^2)\frac{dy}{dx}=-xy⟹\frac{dy}{y}=\frac{-xdx}{1-x^2}$ Интегрируем: $\ln \left|y\right|=\frac{1}{2}\ln |1-x^2|+\ln \left|C\right|⟹y=C\sqrt{1-x^2}$ Подставим начальные условия $x=0,y=4$: $4=C\sqrt{1-0^2}⟹C=4$ Следовательно, $y=4\sqrt{1-x^2}$ . ️ Шаг 3: Решение однородного уравнения первого порядка Уравнение $x^2+y^2-2xy\cdot y^{\prime }=0$ приведем к виду $y^{\prime }=\frac{x^2+y^2}{2xy}=\frac{1+(y/x{)}^2}{2(y/x)}$ . Введем замену $u=\frac{y}{x}$ , тогда $y=ux$ и $y^{\prime }=u^{\prime }x+u$: $u^{\prime }x+u=\frac{1+u^2}{2u}⟹u^{\prime }x=\frac{1+u^2-2u^2}{2u}=\frac{1-u^2}{2u}$ $\frac{2udu}{1-u^2}=\frac{dx}{x}$ Интегрируем: $-\ln |1-u^2|=\ln \left|x\right|+\ln \left|C\right|⟹\frac{1}{1-u^2}=Cx$ Возвращаясь к $y$, получаем $x^2-y^2=C_{1}x$. ️ Шаг 4: Решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Составим характеристическое уравнение для $y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+4y=0$: $k^2-4k+4=0⟹(k-2{)}^2=0⟹k=2$Так как корень кратный, общее решение имеет вид: $y=(C_1+C_{2}x)e^{2x}$ ️ Шаг 5: Нахождение частного решения уравнения второго порядка Для $y^{\prime \prime }+4y^{\prime }-5y=0$ характеристическое уравнение: $k^2+4k-5=0⟹(k+5)(k-1)=0⟹k_1=1,k_2=-5$ Общее решение: $y=C_1{e}^x+C_2{e}^{-5x}$. Его производная: $y^{\prime }=C_1{e}^x-5C_2{e}^{-5x}$. Используем начальные условия $y\left(0\right)=4,y^{\prime }\left(0\right)=2$:

1. $C_1+C_2=4$ $C_1-5C_2=2$
   Вычитая из первого уравнения второе: $6C_2=2⟹C_2=\frac{1}{3}$ .
   Тогда $C_1=4-\frac{1}{3}=\frac{11}{3}$ .

Ответ:

1. $y=\frac{C}{x}$
2. $y=4\sqrt{1-x^2}$
3. $x^2-y^2=Cx$
4. $y=(C_1+C_{2}x)e^{2x}$
5. $y=\frac{11}{3}{e}^x+\frac{1}{3}{e}^{-5x}$

Нужно ли подготовить аналогичные задачи для самостоятельной тренировки или разобрать другой тип дифференциальных уравнений?