Log2(9-2^x)=3-x x^ log2x+2=8

Ниже представлено подробное решение двух логарифмических уравнений. Решение уравнения 1 ${\log }_2(9-2^x)=3-x$1. Область допустимых значений (ОДЗ): Аргумент логарифма должен быть больше нуля: $9-2^x>0⟹2^x<9$. Это условие проверим в конце. 2. Переход к показательному виду: По определению логарифма ( ${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$): $9-2^x=2^{3-x}$3. Преобразование уравнения: Используем свойство степеней $a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$ : $9-2^x=\frac{2^3}{2^x}$ $9-2^x=\frac{8}{2^x}$ 4. Замена переменной: Пусть $2^x=t$, где $t>0$. $9-t=\frac{8}{t}$ Умножим обе части на $t$: $9t-t^2=8$ $t^2-9t+8=0$5. Решение квадратного уравнения: По теореме Виета или через дискриминант:

• $t_1=1$ $t_2=8$
  Оба значения положительны и удовлетворяют условию $t<9$ (из ОДЗ).

6. Обратная замена:

1. $2^x=1⟹2^x=2^0⟹{\mathbf{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{0}$ $2^x=8⟹2^x=2^3⟹{\mathbf{x}}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{3}$

Ответ: $0;3$. Решение уравнения 2 $x^{{\log }_{2}x+2}=8$1. Область допустимых значений (ОДЗ): Основание степени с переменным показателем и аргумент логарифма должны быть положительными: $x>0$. 2. Логарифмирование обеих частей: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию $2$: ${\log }_2\left(x^{{\log }_{2}x+2}\right)={\log }_{2}8$3. Использование свойств логарифма: Вынесем показатель степени за знак логарифма ( ${\log }_a{b}^k=k{\log }_{a}b$) и вычислим ${\log }_{2}8=3$: $({\log }_{2}x+2)\cdot {\log }_{2}x=3$4. Замена переменной: Пусть ${\log }_{2}x=y$. $(y+2)\cdot y=3$ $y^2+2y-3=0$5. Решение квадратного уравнения: По теореме Виета:

• $y_1=-3$ $y_2=1$

6. Обратная замена:

1. ${\log }_{2}x=-3⟹x=2^{-3}⟹{\mathbf{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{8}}$ (или $0.125$) ${\log }_{2}x=1⟹x=2^1⟹{\mathbf{x}}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{2}$

Оба корня удовлетворяют условию $x>0$. Ответ: $0.125;2$. Если вам нужно разобрать аналогичные задачи с другими основаниями логарифмов, я могу составить для вас таблицу основных свойств для самопроверки.