Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды в три раза больше площади основания. площадь круга, вписанного в основание, численно равна радиусу этого круга. найти объем пирамиды.

Объем пирамиды равен $\frac{\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{6}}}{{\mathbf{\pi }}^{\mathbf{3}}}$ . Шаг 1: Нахождение радиуса вписанной окружности Пусть $r$ — радиус окружности, вписанной в основание пирамиды. По условию площадь этой окружности $S_{кр}=\pi r^2$ численно равна ее радиусу: $\pi r^2=r$Так как радиус не может быть равен нулю, разделим обе части уравнения на $r$: $r=\frac{1}{\pi }$ Шаг 2: Определение стороны и площади основания Основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник. Радиус вписанной в него окружности связан со стороной $a$ формулой $r=\frac{a}{2\sqrt{3}}$ . Отсюда выразим сторону $a$: $a=2\sqrt{3}r=\frac{2\sqrt{3}}{\pi }$ Площадь основания $S_{осн}$ правильного треугольника: $S_{осн}=\frac{\sqrt{3}{a}^2}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot {\left(\frac{2\sqrt{3}}{\pi }\right)}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{12}{{\pi }^2}=\frac{3\sqrt{3}}{{\pi }^2}$ Шаг 3: Нахождение апофемы пирамиды Пусть $h_a$ — апофема (высота боковой грани). Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ правильной пирамиды равна $S_{бок}=\frac{1}{2}P\cdot h_a$ , где $P=3a$ — периметр основания. По условию $S_{бок}=3S_{осн}$: $\frac{1}{2}\cdot \left(3a\right)\cdot h_a=3\cdot \frac{\sqrt{3}{a}^2}{4}$ Разделим на $3a$ (при $a\ne 0$): $\frac{1}{2}{h}_a=\frac{\sqrt{3}a}{4}⟹h_a=\frac{\sqrt{3}a}{2}$ Подставим значение $a$: $h_a=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2\sqrt{3}}{\pi }=\frac{3}{\pi }$ Шаг 4: Нахождение высоты пирамиды Высота пирамиды $H$, радиус вписанной окружности $r$ и апофема $h_a$ образуют прямоугольный треугольник, где $h_a$ — гипотенуза. По теореме Пифагора: $H=\sqrt{h_a^2-r^2}=\sqrt{{\left(\frac{3}{\pi }\right)}^2-{\left(\frac{1}{\pi }\right)}^2}=\sqrt{\frac{9}{{\pi }^2}-\frac{1}{{\pi }^2}}=\sqrt{\frac{8}{{\pi }^2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\pi }$ Шаг 5: Вычисление объема пирамиды Объем пирамиды $V$ вычисляется по формуле: $V=\frac{1}{3}{S}_{осн}H=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{{\pi }^2}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{\pi }=\frac{\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{2}}{{\pi }^3}=\frac{2\sqrt{6}}{{\pi }^3}$ Ответ: $V=\frac{2\sqrt{6}}{{\pi }^3}$ Нужно ли вам вычислить приближенное десятичное значение полученного объема или разобрать аналогичную задачу с четырехугольной пирамидой?