Чему равен синус квадрата альфа плюс косинус квадрата альфа

Сумма квадрата синуса и квадрата косинуса одного и того же угла всегда равна единице. Это утверждение известно как основное тригонометрическое тождество. В математической записи это выглядит следующим образом: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$Доказательство через единичную окружность Наиболее наглядный способ понять, почему это так — рассмотреть единичную окружность (окружность с радиусом $R=1$ и центром в начале координат):

1. Любая точка на этой окружности имеет координаты $(x,y)$. По определению тригонометрических функций для угла $\alpha$:
   • Косинус — это абсцисса точки: $x=\cos \alpha$ Синус — это ордината точки: $y=\sin \alpha$
   Уравнение окружности с радиусом $1$ записывается как: $x^2+y^2=1^2$ Подставляя значения синуса и косинуса, получаем: $(\cos \alpha {)}^2+(\sin \alpha {)}^2=1$

Доказательство через теорему Пифагора Если рассматривать прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha$, катетами $a,b$ и гипотенузой $c$:

• $\sin \alpha =\frac{a}{c}$ $\cos \alpha =\frac{b}{c}$

Возведем их в квадрат и сложим: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}$ Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы ( $a^2+b^2=c^2$), следовательно: $\frac{c^2}{c^2}=1$ Это тождество является фундаментальным в тригонометрии и выполняется для любого значения угла $\alpha$ (будь то радианы или градусы). Я могу помочь вам вывести другие формулы, основанные на этом тождестве, например, связь тангенса и косинуса. Хотите разобрать их?