Дан куб авсда1в1с1д1.а) докажите, что прямая вд1 перпендикулярна плоскости асв1. б) найдите угол между плоскостями ад1с1 и а1д1с

Угол между плоскостями $A{D}_1{C}_1$ и $A_1{D}_{1}C$ составляет ${60}^{\circ }$, а перпендикулярность прямой $B{D}_1$ к плоскости $AC{B}_1$ доказывается через равенство нулю скалярных произведений направляющего вектора прямой и векторов, лежащих в плоскости. Шаг 1: Доказательство перпендикулярности прямой и плоскости Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D(0,0,0)$. Пусть ребро куба равно $a$. Тогда координаты вершин: $A(a,0,0)$, $C(0,a,0)$, $B(a,a,0)$, $B_1(a,a,a)$, $D_1(0,0,a)$. Найдем координаты вектора $\overrightarrow{B{D}_1}$: $\overrightarrow{B{D}_1}=(0-a,0-a,a-0)=(-a,-a,a)$Найдем координаты двух непересекающихся векторов в плоскости $AC{B}_1$: $\overrightarrow{AC}=(0-a,a-0,0-0)=(-a,a,0)$ $\overrightarrow{A{B}_1}=(a-a,a-0,a-0)=(0,a,a)$Проверим перпендикулярность $\overrightarrow{B{D}_1}$ к этим векторам через скалярное произведение:

1. $\overrightarrow{B{D}_1}\cdot \overrightarrow{AC}=(-a)\cdot (-a)+(-a)\cdot a+a\cdot 0=a^2-a^2+0=0$ $\overrightarrow{B{D}_1}\cdot \overrightarrow{A{B}_1}=(-a)\cdot 0+(-a)\cdot a+a\cdot a=0-a^2+a^2=0$

Так как прямая $B{D}_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $A{B}_1$ в плоскости $AC{B}_1$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $B{D}_1⟂\left(AC{B}_1\right)$. Шаг 2: Нахождение угла между плоскостями Найдем нормали к плоскостям $A{D}_1{C}_1$ и $A_1{D}_{1}C$. Координаты точек: $A(a,0,0)$, $D_1(0,0,a)$, $C_1(0,a,a)$, $A_1(a,0,a)$, $C(0,a,0)$.

1. Плоскость $A{D}_1{C}_1$:
   Векторы $\overrightarrow{D_{1}A}=(a,0,-a)$ и $\overrightarrow{D_1{C}_1}=(0,a,0)$.
   Нормаль $\overrightarrow{n_1}$ находим как векторное произведение:
   $\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{D_{1}A}\times \overrightarrow{D_1{C}_1}=(a^2,0,a^2)$Упростим до $\overrightarrow{n_1}=(1,0,1)$. Плоскость $A_1{D}_{1}C$:
   Векторы $\overrightarrow{D_1{A}_1}=(a,0,0)$ и $\overrightarrow{D_{1}C}=(0,a,-a)$.
   Нормаль $\overrightarrow{n_2}$ находим как векторное произведение:
   $\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{D_1{A}_1}\times \overrightarrow{D_{1}C}=(0,a^2,a^2)$Упростим до $\overrightarrow{n_2}=(0,1,1)$. Вычислим косинус угла $\varphi$ между нормалями:
   $\cos \varphi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\cdot \left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{|1\cdot 0+0\cdot 1+1\cdot 1|}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}\cdot \sqrt{0^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$

Следовательно, $\varphi =\arccos (1/2)={60}^{\circ }$. Ответ: а) Доказано; б) 60^\circ. Нужно ли подготовить чертеж или рассмотреть решение через геометрическое построение линейного угла без векторов?