Упростите выражение sinx+sin2x+sin3x+sin4x

Для упрощения выражения $\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x$ удобнее всего воспользоваться методом группировки слагаемых и формулой суммы синусов: $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)$ Шаг 1: Группировка слагаемых Сгруппируем крайние и средние слагаемые так, чтобы суммы их аргументов были одинаковыми ( $x+4x=5x$ и $2x+3x=5x$): $(\sin 4x+\sin x)+(\sin 3x+\sin 2x)$Шаг 2: Применение формулы суммы синусов Применим формулу к каждой скобке по отдельности.

1. Для первой скобки $(\sin 4x+\sin x)$:
   $2\sin \left(\frac{4x+x}{2}\right)\cos \left(\frac{4x-x}{2}\right)=2\sin \frac{5x}{2}\cos \frac{3x}{2}$ Для второй скобки $(\sin 3x+\sin 2x)$:
   $2\sin \left(\frac{3x+x}{2}\right)\cos \left(\frac{3x-2x}{2}\right)=2\sin \frac{5x}{2}\cos \frac{x}{2}$

Шаг 3: Вынесение общего множителя Теперь подставим полученные результаты обратно в выражение: $2\sin \frac{5x}{2}\cos \frac{3x}{2}+2\sin \frac{5x}{2}\cos \frac{x}{2}$ Вынесем общий множитель $2\sin \frac{5x}{2}$ за скобки: $2\sin \frac{5x}{2}(\cos \frac{3x}{2}+\cos \frac{x}{2})$ Шаг 4: Упрощение суммы косинусов Воспользуемся формулой суммы косинусов: $\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)$ Применим её для выражения в скобках: $\cos \frac{3x}{2}+\cos \frac{x}{2}=2\cos \left(\frac{\frac{3x}{2}+\frac{x}{2}}{2}\right)\cos \left(\frac{\frac{3x}{2}-\frac{x}{2}}{2}\right)=2\cos x\cos \frac{x}{2}$ Шаг 5: Окончательный результат Соберем все части вместе: $2\sin \frac{5x}{2}\cdot \left(2\cos x\cos \frac{x}{2}\right)=4\sin \frac{5x}{2}\cos x\cos \frac{x}{2}$ Ответ: $4\sin \frac{5x}{2}\cos x\cos \frac{x}{2}$ Хотите, чтобы я проверил решение аналогичного тригонометрического выражения?