Докажите, что средняя линия трапеции делит её диагонали пополам.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойствами средней линии треугольника и определением средней линии трапеции. Формулировка задачи Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть $EF$ — её средняя линия ( $E$ — середина $AB$, $F$ — середина $CD$). Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекают среднюю линию в точках $M$ и $N$ соответственно. Необходимо доказать, что:

1. $M$ — середина $AC$. $N$ — середина $BD$.

Доказательство 1. Рассмотрение треугольника $ABC$

• По определению средней линии трапеции, отрезок $EF$ параллелен основаниям ( $EF\parallel BC$ и $EF\parallel AD$). Следовательно, отрезок $EM$ (часть средней линии) также параллелен основанию $BC$. В треугольнике $ABC$ точка $E$ является серединой стороны $AB$. Согласно теореме Фалеса (или признаку средней линии треугольника): если прямая проходит через середину одной стороны треугольника и параллельна другой стороне, то она пересекает третью сторону в её середине. Значит, точка $M$ является серединой диагонали $AC$.

2. Рассмотрение треугольника $ABD$

• Аналогично, рассмотрим треугольник $ABD$. Точка $E$ — середина $AB$. Отрезок $EN$ лежит на средней линии трапеции, следовательно, $EN\parallel AD$. По той же теореме Фалеса, прямая, проходящая через середину $E$ параллельно основанию $AD$, должна делить сторону $BD$ пополам. Значит, точка $N$ является серединой диагонали $BD$.

Вывод Так как точки пересечения средней линии с диагоналями ( $M$ и $N$) совпадают с серединами этих диагоналей, утверждение доказано. Дополнительное свойство: Отрезок средней линии, заключенный между диагоналями ( $MN$), равен полуразности оснований: $MN=\frac{AD-BC}{2}$ Это следует из того, что $EN=\frac{AD}{2}$ (как средняя линия $△ABD$) и $EM=\frac{BC}{2}$ (как средняя линия $△ABC$). Я могу также рассчитать длину средней линии или её сегментов для конкретных значений оснований трапеции, если это необходимо.