Х в четвёртой степини=256

Для решения уравнения $x^4=256$ необходимо найти все значения $x$, которые при возведении в четвертую степень дают 256. 1. Алгебраический способ решения Чтобы найти $x$, нужно извлечь корень четвертой степени из обеих частей уравнения. Важно помнить, что при извлечении четного корня из положительного числа получается два вещественных результата: положительный и отрицательный. $x=\pm \sqrt[4]{256}$ Разложим число 256 на множители, чтобы упростить извлечение корня:

• $256=2\cdot 128$ $256=2\cdot 2\cdot 64$ $256=2\cdot 2\cdot 2\cdot 32$ $256=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 16$ $256=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^8$

Таким образом: $\sqrt[4]{256}=\sqrt[4]{2^8}=2^{8/4}=2^2=4$ Следовательно, вещественные корни уравнения: $x_1=4$ $x_2=-4$ 2. Разложение на множители (через разность квадратов) Уравнение можно переписать в виде: $x^4-256=0$ $(x^2{)}^2-{16}^2=0$Используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $(x^2-16)(x^2+16)=0$Теперь разложим первую скобку еще раз: $(x-4)(x+4)(x^2+16)=0$Отсюда получаем три условия:

1. $x-4=0\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{4}$ $x+4=0\mathbf{x}\mathbf{=}-4$ $x^2+16=0x^2=-16$

3. Комплексные корни Если решение ищется во множестве комплексных чисел, то из уравнения $x^2=-16$ следуют еще два корня: $x=\pm \sqrt{-16}=\pm 4i$ Итоговый ответ:

• Вещественные корни: 4, -4
• Комплексные корни (если требуются): 4i, -4i

Я могу составить для вас аналогичные задачи для практики или разобрать решение более сложных степенных уравнений. Хотите продолжить?