Докажите признак равенства прямоугольных треугольников по катету и медиане, проведенной к этому катету.

Для доказательства признака равенства прямоугольных треугольников по катету и медиане, проведенной к нему, воспользуемся вторым признаком равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) и определением медианы. Формулировка Если катет и проведенная к нему медиана одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и проведенной к нему медиане другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. Дано:

1. $△ABC$ и $△A_1{B}_1{C}_1$ — прямоугольные ( $\angle C=\angle C_1={90}^{\circ }$). $BC$ и $B_1{C}_1$ — катеты, к которым проведены медианы ( $BC=B_1{C}_1$). $AM$ и $A_1{M}_1$ — медианы, проведенные к этим катетам ( $AM=A_1{M}_1$).

Доказательство: 1. Свойства медианы Так как $AM$ — медиана, проведенная к стороне $BC$, точка $M$ является серединой $BC$. Следовательно: $MC=\frac{1}{2}BC$ Аналогично, в $△A_1{B}_1{C}_1$ точка $M_1$ — середина $B_1{C}_1$: $M_1{C}_1=\frac{1}{2}{B}_1{C}_1$ 2. Равенство отрезков медианного деления По условию $BC=B_1{C}_1$. Из этого следует, что их половины также равны: $MC=M_1{C}_1$3. Равенство вспомогательных треугольников Рассмотрим прямоугольные треугольники $△ACM$ и $△A_1{C}_1{M}_1$:

• $MC=M_1{C}_1$ (доказано выше). $AM=A_1{M}_1$ (по условию). $\angle C=\angle C_1={90}^{\circ }$.

Следовательно, $△ACM=△A_1{C}_1{M}_1$ по гипотенузе и катету. 4. Равенство вторых катетов Из равенства треугольников $△ACM$ и $△A_1{C}_1{M}_1$ следует равенство их соответствующих сторон: $AC=A_1{C}_1$5. Равенство исходных треугольников Теперь рассмотрим исходные треугольники $△ABC$ и $△A_1{B}_1{C}_1$:

• $BC=B_1{C}_1$ (по условию). $AC=A_1{C}_1$ (доказано в пункте 4). $\angle C=\angle C_1={90}^{\circ }$.

Следовательно, $△ABC=△A_1{B}_1{C}_1$ по двум катетам (или по первому признаку равенства треугольников). Что и требовалось доказать. Я могу также подготовить для вас доказательство равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и медиане, проведенной к ней. Хотите, чтобы я это сделал? Good response Bad response