F(x) =5x-sin2x определите промежутки выпуклости вниз вверх графика функции

График функции $F\left(x\right)=5x-\sin \left(2x\right)$ является выпуклым вниз на интервалах $x\in (\pi n,\frac{\pi }{2}+\pi n)$ и выпуклым вверх на интервалах $x\in (\frac{\pi }{2}+\pi n,\pi +\pi n)$ , где $n\in \mathbb{Z}$. Шаг 1: Нахождение первой производной Для исследования функции на выпуклость необходимо найти её вторую производную. Сначала вычислим первую производную функции $F\left(x\right)=5x-\sin \left(2x\right)$ по правилам дифференцирования: $F^{\prime }\left(x\right)=(5x{)}^{\prime }-(\sin \left(2x\right){)}^{\prime }=5-2\cos \left(2x\right)$Шаг 2: Нахождение второй производной Вторая производная определяет характер выпуклости графика. Дифференцируем полученное выражение еще раз: $F^{\prime \prime }\left(x\right)=(5-2\cos (2x){)}^{\prime }=0-2(-\sin \left(2x\right))\cdot 2=4\sin (2x)$Шаг 3: Определение критических точек второй производной Приравняем вторую производную к нулю, чтобы найти точки перегиба: $4\sin \left(2x\right)=0$ $\sin \left(2x\right)=0$ $2x=\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $x=\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}$ Шаг 4: Анализ знаков второй производной Направление выпуклости зависит от знака $F^{\prime \prime }\left(x\right)$:

1. Выпуклость вниз (вогнутость) наблюдается там, где $F^{\prime \prime }\left(x\right)>0$:
   $4\sin \left(2x\right)>02\pi n<2x<\pi +2\pi n\pi n<x<\frac{\pi }{2}+\pi n$ Выпуклость вверх наблюдается там, где $F^{\prime \prime }\left(x\right)<0$:
   $4\sin \left(2x\right)<0\pi +2\pi n<2x<2\pi +2\pi n\frac{\pi }{2}+\pi n<x<\pi +\pi n$

Ответ: Интервалы выпуклости вниз: $(\pi n,\frac{\pi }{2}+\pi n)$ . Интервалы выпуклости вверх: $(\frac{\pi }{2}+\pi n,\pi +\pi n)$ , где $n\in \mathbb{Z}$. Сообщите, требуется ли вам найти точки перегиба или исследовать данную функцию на экстремумы.