F(x)=2x^3+3x^2+3/2x+30,(-3,3)

Для функции $f\left(x\right)=2x^3+3x^2+\frac{3}{2}x+30$ на интервале $(-3,3)$ проведен полный математический анализ, включающий поиск экстремумов, точек перегиба и исследование монотонности. 1. Поиск критических точек (Первая производная) Для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую производную: $f^{\prime }\left(x\right)=(2x^3{)}^{\prime }+(3x^2{)}^{\prime }+{\left(\frac{3}{2}x\right)}^{\prime }+(30{)}^{\prime }=6x^2+6x+\frac{3}{2}$ Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $6x^2+6x+1.5=0$Разделим всё уравнение на 1.5 для упрощения: $4x^2+4x+1=0$Данное выражение является полным квадратом: $(2x+1{)}^2=0x=-0.5$Анализ критической точки: Так как $f^{\prime }\left(x\right)=6(x+0.5{)}^2$, производная всегда неотрицательна ( $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$) для любого $x$. Это означает, что функция является строго возрастающей на всем интервале $(-3,3)$ и не имеет локальных максимумов или минимумов (точка $x=-0.5$ является точкой горизонтального перегиба). 2. Исследование выпуклости и точек перегиба (Вторая производная) Найдем вторую производную: $f^{\prime \prime }\left(x\right)=(6x^2+6x+1.5{)}^{\prime }=12x+6$Приравняем к нулю: $12x+6=0x=-0.5$Определение характера точки:

• При $x<-0.5$: $f^{\prime \prime }\left(x\right)<0$ — график функции выпуклый вверх (вогнутый). При $x>-0.5$: $f^{\prime \prime }\left(x\right)>0$ — график функции выпуклый вниз (выпуклый). Следовательно, $x=-0.5$ — точка перегиба.

Координаты точки перегиба: $f\left(-0.5\right)=2\left(-0.125\right)+3\left(0.25\right)+1.5\left(-0.5\right)+30=-0.25+0.75-0.75+30=29.75$. 3. Значения на границах интервала Так как интервал $(-3,3)$ открытый, вычислим предельные значения функции:

• $f\left(-3\right)=2\left(-27\right)+3\left(9\right)+\frac{3}{2}\left(-3\right)+30=-54+27-4.5+30=-1.5$ $f\left(3\right)=2\left(27\right)+3\left(9\right)+\frac{3}{2}\left(3\right)+30=54+27+4.5+30=115.5$

Итоговые характеристики на $(-3,3)$:

• Монотонность: Функция строго возрастает на всем интервале.
• Экстремумы: Локальные экстремумы отсутствуют.
• Точка перегиба: $(-0.5;29.75)$. Область значений: $(-1.5;115.5)$.

Хотите ли вы построить график данной функции или найти касательную в конкретной точке?