Решите уравнение sin5x+sinx+2sin(в квадрате)x=1

Для решения уравнения $\sin 5x+\sin x+2{\sin }^{2}x=1$ воспользуемся тригонометрическими формулами суммы и преобразования квадрата синуса. 1. Преобразование уравнения Сначала перенесем все слагаемые в одну сторону и преобразуем выражение $2{\sin }^{2}x-1$. Известно, что $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$, следовательно: $2{\sin }^{2}x-1=-\cos 2x$Уравнение принимает вид: $\sin 5x+\sin x-\cos 2x=0$2. Использование формулы суммы синусов Применим формулу $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$ к первым двум слагаемым: $\sin 5x+\sin x=2\sin \frac{5x+x}{2}\cos \frac{5x-x}{2}=2\sin 3x\cos 2x$ Теперь подставим это в уравнение: $2\sin 3x\cos 2x-\cos 2x=0$3. Разложение на множители Вынесем общий множитель $\cos 2x$ за скобки: $\cos 2x(2\sin 3x-1)=0$Это произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая: Случай А: $\cos 2x=0$ $2x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}$ Случай Б: $2\sin 3x-1=0$ $\sin 3x=\frac{1}{2}$ Здесь возникают две серии решений для $3x$:

1. $3x=\frac{\pi }{6}+2\pi k⟹$ $x=\frac{\pi }{18}+\frac{2\pi k}{3},k\in \mathbb{Z}$ $3x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k⟹$ $x=\frac{5\pi }{18}+\frac{2\pi k}{3},k\in \mathbb{Z}$

Ответ:

• $x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2}$ $x=\frac{\pi }{18}+\frac{2\pi k}{3}$ $x=\frac{5\pi }{18}+\frac{2\pi k}{3}$
  Где $n,k\in \mathbb{Z}$.

Я могу также отобрать корни этого уравнения на заданном числовом промежутке, если это необходимо.