√3 cos2x=3-3(sinx+cosx)²

Для решения уравнения $\sqrt{3}\cos 2x=3-3(\sin x+\cos x{)}^2$ воспользуемся тригонометрическими тождествами для упрощения обеих частей. 1. Упрощение правой части уравнения Раскроем квадрат суммы в правой части: $(\sin x+\cos x{)}^2={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x$Используя основные тождества ( ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ и $2\sin x\cos x=\sin 2x$), получаем: $(\sin x+\cos x{)}^2=1+\sin 2x$Подставим это выражение обратно в правую часть уравнения: $3-3(1+\sin 2x)=3-3-3\sin 2x=-3\sin 2x$2. Преобразование уравнения Теперь уравнение выглядит так: $\sqrt{3}\cos 2x=-3\sin 2x$ Перенесем все слагаемые в одну сторону: $3\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x=0$ 3. Решение однородного уравнения Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}\cos 2x$ (при условии, что $\cos 2x\ne 0$, так как если $\cos 2x=0$, то и $\sin 2x$ должен был бы быть равен $0$, что невозможно одновременно): $\frac{3\sin 2x}{\sqrt{3}\cos 2x}+\frac{\sqrt{3}\cos 2x}{\sqrt{3}\cos 2x}=0$ $\sqrt{3}\tan 2x+1=0$ Выразим тангенс: $\sqrt{3}\tan 2x=-1$ $\tan 2x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ 4. Нахождение корней Используем общую формулу для арктангенса: $2x=\arctan (-\frac{1}{\sqrt{3}})+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Известно, что $\arctan (-\frac{1}{\sqrt{3}})=-\frac{\pi }{6}$ . Следовательно: $2x=-\frac{\pi }{6}+\pi n$ Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$: $x=-\frac{\pi }{12}+\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=-\frac{\pi }{12}+\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}$ Я могу помочь вам отобрать корни этого уравнения на определенном числовом промежутке, если это необходимо.