Исследуйте на четность и нечетность функции:y=(x+sinx)/xcosxy=(x+ctgx)/(x-sinx) +5y=|x|/(sinx cosx)y=(tgx-ctgx)/|x|

Для исследования функций на четность или нечетность необходимо проверить выполнение условий:

1. Четность: $f(-x)=f\left(x\right)$ (график симметричен относительно оси $Oy$). Нечетность: $f(-x)=-f\left(x\right)$ (график симметричен относительно начала координат).

При расчетах будем использовать свойства тригонометрических функций:

• $\sin (-x)=-\sin x$ (нечетная) $\cos (-x)=\cos x$ (четная) $\text{tg}(-x)=-\text{tg}x$ (нечетная) $\text{ctg}(-x)=-\text{ctg}x$ (нечетная)

1. $y=\frac{x+\sin x}{x\cos x}$ Проверим значение функции при аргументе $-x$: $y(-x)=\frac{(-x)+\sin (-x)}{(-x)\cos (-x)}=\frac{-x-\sin x}{-x\cos x}$ Вынесем минус в числителе и знаменателе: $y(-x)=\frac{-(x+\sin x)}{-x\cos x}=\frac{x+\sin x}{x\cos x}$ Так как $y(-x)=y\left(x\right)$, функция является четной. 2. $y=\frac{x+\text{ctg}x}{x-\sin x}+5$ Проверим значение функции при аргументе $-x$: $y(-x)=\frac{(-x)+\text{ctg}(-x)}{(-x)-\sin (-x)}+5=\frac{-x-\text{ctg}x}{-x-(-\sin x)}+5=\frac{-(x+\text{ctg}x)}{-x+\sin x}+5$ Вынесем минус из знаменателя: $y(-x)=\frac{-(x+\text{ctg}x)}{-(x-\sin x)}+5=\frac{x+\text{ctg}x}{x-\sin x}+5$ Так как $y(-x)=y\left(x\right)$, функция является четной. 3. $y=\frac{\left|x\right|}{\sin x\cos x}$ Проверим значение функции при аргументе $-x$: $y(-x)=\frac{|-x|}{\sin (-x)\cos (-x)}=\frac{\left|x\right|}{(-\sin x)\cdot \cos x}=-\frac{\left|x\right|}{\sin x\cos x}$ Так как $y(-x)=-y\left(x\right)$, функция является нечетной. 4. $y=\frac{\text{tg}x-\text{ctg}x}{\left|x\right|}$ Проверим значение функции при аргументе $-x$: $y(-x)=\frac{\text{tg}(-x)-\text{ctg}(-x)}{|-x|}=\frac{-\text{tg}x-(-\text{ctg}x)}{\left|x\right|}=\frac{-\text{tg}x+\text{ctg}x}{\left|x\right|}$ Вынесем минус за скобки: $y(-x)=-\frac{\text{tg}x-\text{ctg}x}{\left|x\right|}$ Так как $y(-x)=-y\left(x\right)$, функция является нечетной. Итоговая таблица результатов:

Я могу также помочь с нахождением областей определения (ООФ) для этих функций или исследованием их на периодичность. Хотите продолжить разбор?