Решить неравенство: arctg(x)>-пи/4

Для решения неравенства $\arctan \left(x\right)>-\frac{\pi }{4}$ воспользуемся свойствами функции арктангенса. 1. Анализ функции Функция $f\left(x\right)=\arctan \left(x\right)$ обладает следующими ключевыми свойствами:

• Область определения: $D\left(f\right)=(-\infty ;+\infty )$. Монотонность: Функция является строго возрастающей на всей числовой прямой. Это означает, что для любых $a$ и $b$ неравенство $\arctan \left(a\right)>\arctan \left(b\right)$ равносильно неравенству $a>b$.

2. Преобразование неравенства Нам дано неравенство: $\arctan \left(x\right)>-\frac{\pi }{4}$ Заметим, что значение $-\frac{\pi }{4}$ можно представить как арктангенс некоторого числа. Из таблицы тригонометрических значений известно, что: $\tan (-\frac{\pi }{4})=-1⟹\arctan \left(-1\right)=-\frac{\pi }{4}$ Подставим это значение в исходное неравенство: $\arctan \left(x\right)>\arctan \left(-1\right)$3. Решение Так как функция $y=\arctan \left(x\right)$ монотонно возрастает, мы можем перейти от сравнения значений функций к сравнению их аргументов, сохраняя знак неравенства: $x>-1$4. Проверка границ (асимптоты) Функция арктангенса ограничена по вертикали: еe значения всегда лежат в интервале $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$ . Поскольку наше условие требует, чтобы значения были больше $-\frac{\pi }{4}$ , а это значение входит в область значений функции, никаких дополнительных ограничений сверху на $x$ не накладывается. При $x+\infty$ значение $\arctan \left(x\right)$ стремится к $\frac{\pi }{2}$ , что всегда больше $-\frac{\pi }{4}$ . Ответ: $x\in (-1;+\infty )$ или $x>-1$. Хотите, чтобы я разобрал решение аналогичного неравенства с функцией $\text{arcctg}\left(x\right)$ или графически пояснил это решение?