Как решать такое уравнение f(f(x))=0, где f(x)=5x^2-x

Для решения уравнения вида $f\left(f\right(x\left)\right)=0$ удобнее всего использовать метод последовательной подстановки (или метод замены переменной). Вам дано: $f\left(x\right)=5x^2-x$. Шаг 1: Решение внешнего уравнения Сначала найдем такие значения $u$, при которых $f\left(u\right)=0$. Пусть $u=f\left(x\right)$. Тогда уравнение принимает вид: $5u^2-u=0$Вынесем $u$ за скобки: $u(5u-1)=0$Отсюда получаем два корня для $u$:

1. $u_1=0$ $5u-1=0⟹u_2=\frac{1}{5}$ (или $0.2$)

Шаг 2: Решение внутренних уравнений Так как мы вводили замену $u=f\left(x\right)$, теперь нам нужно приравнять исходную функцию $f\left(x\right)=5x^2-x$ к найденным значениям $u$. Случай 1: $f\left(x\right)=0$ $5x^2-x=0$ $x(5x-1)=0$

• $x_1=0$
• $x_2=\frac{1}{5}$ (или $0.2$)

Случай 2: $f\left(x\right)=\frac{1}{5}$ $5x^2-x=\frac{1}{5}$ Перенесем всё в одну сторону и приведем к стандартному виду квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$: $5x^2-x-\frac{1}{5}=0$ Для удобства умножим всё уравнение на $5$: $25x^2-5x-1=0$Решим через дискриминант $D=b^2-4ac$: $D=(-5{)}^2-4\cdot 25\cdot (-1)=25+100=125$ Корни: $x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm \sqrt{125}}{50}$ Так как $\sqrt{125}=5\sqrt{5}$ , упростим дробь: $x=\frac{5\pm 5\sqrt{5}}{50}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{10}$

• $x_3=\frac{1+\sqrt{5}}{10}$
• $x_4=\frac{1-\sqrt{5}}{10}$

Итоговый ответ: Уравнение имеет четыре корня:

1. $x=0$ $x=0.2$ $x=\frac{1+\sqrt{5}}{10}$ $x=\frac{1-\sqrt{5}}{10}$

Я могу составить для вас аналогичную задачу для закрепления материала или проверить решение другого уравнения. Хотите попробовать?