Как записывается уравнение единичной окружности

Уравнение единичной окружности является фундаментальным понятием в аналитической геометрии и тригонометрии. Оно описывает множество всех точек на плоскости, удаленных от начала координат на расстояние, равное единице. Каноническое уравнение В декартовой системе координат $(x,y)$ с центром в точке $(0,0)$ и радиусом $R=1$, уравнение записывается следующим образом: $x^2+y^2=1$Обоснование и вывод Вывод этого уравнения основывается на теореме Пифагора. Если взять произвольную точку $M(x,y)$ на окружности и соединить её с центром $(0,0)$, образуется прямоугольный треугольник, где:

• Катеты равны координатам точки: $x$ и $y$. Гипотенуза равна радиусу окружности: $R=1$.

Согласно теореме Пифагора ( $a^2+b^2=c^2$), сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $x^2+y^2=1^2$Так как $1^2=1$, мы получаем итоговую формулу. Параметрическое представление Единичную окружность также можно описать через параметр $t$ (обычно это угол поворота в радианах). Это позволяет выразить координаты каждой точки через тригонометрические функции: $\{\begin{array}{c}x=\cos \left(t\right)\\ y=\sin \left(t\right)\end{array}$Где $t$ изменяется в диапазоне $[0,2\pi )$. Это представление удобно тем, что оно автоматически удовлетворяет основному тригонометрическому тождеству: ${\cos }^2\left(t\right)+{\sin }^2\left(t\right)=1$Основные характеристики

• Центр: Точка $O(0,0)$. Радиус: $R=1$. Длина окружности: $C=2\pi R=2\pi$. Площадь круга, ограниченного этой окружностью: $S=\pi R^2=\pi$.

Я могу составить для вас таблицу значений координат $(x,y)$ для основных углов или продемонстрировать, как изменится уравнение при смещении центра окружности. Что из этого было бы полезно?