Какие линейные операции над векторами проводятся и как? как проводятся линейные операции над векторами, заданными координатами?

Под линейными операциями над векторами понимают две основные операции: сложение векторов и умножение вектора на число. Эти операции называются линейными, так как они удовлетворяют свойствам дистрибутивности и ассоциативности, формируя основу векторного пространства. 1. Геометрическое определение операций Геометрически операции выполняются с использованием построений на плоскости или в пространстве. Сложение векторов Существует два основных правила для нахождения суммы векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

• Правило треугольника: Второй вектор $\vec{b}$ прикладывается своим началом к концу первого вектора $\vec{a}$. Суммой $\vec{a}+\vec{b}$ является вектор, соединяющий начало первого вектора с концом второго. Правило параллелограмма: Оба вектора приводятся к общему началу. На них строится параллелограмм. Суммой является диагональ параллелограмма, выходящая из их общего начала.

Умножение вектора на число При умножении вектора $\vec{a}$ на скаляр $k$ получается вектор $\vec{c}=k\vec{a}$, который обладает следующими свойствами:

• Длина: $\left|\vec{c}\right|=\left|k\right|\cdot \left|\vec{a}\right|$. Направление: Если $k>0$, направление совпадает с исходным; если $k<0$, направление меняется на противоположное. Если $k=0$, получается нулевой вектор.

2. Линейные операции в координатной форме Если векторы заданы в декартовой системе координат, операции сводятся к простым арифметическим действиям с их компонентами. Пусть заданы векторы: $\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$ $\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$Сложение и вычитание При сложении (или вычитании) векторов их соответствующие координаты складываются (или вычитаются): $\vec{a}+\vec{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$ $\vec{a}-\vec{b}=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)$Умножение на число При умножении вектора на число $k$ каждая его координата умножается на это число: $k\vec{a}=(k\cdot x_1,k\cdot y_1,k\cdot z_1)$3. Свойства линейных операций Для любых векторов $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ и чисел $n,m$ справедливы следующие законы:

4. Пример вычисления Пусть даны векторы $\vec{a}=(2,-3)$ и $\vec{b}=(4,1)$. Необходимо найти координаты вектора $\vec{c}=3\vec{a}-\vec{b}$.

1. Умножение на число: $3\vec{a}=(3\cdot 2,3\cdot (-3\left)\right)=(6,-9)$. Вычитание: $\vec{c}=(6-4,-9-1)=(2,-10)$.

Результат: вектор $\vec{c}$ имеет координаты $(2,-10)$. Я могу составить для вас таблицу с более сложными примерами или разобрать условия коллинеарности векторов на основе этих операций. Хотите продолжить разбор?