Найдите точки экстремума функции 1)y=x^4-8x^2+3 2)y=x^4-4x^3

Для функции $y=x^4-8x^2+3$ точками экстремума являются x = -2 (минимум), x = 0 (максимум) и x = 2 (минимум); для функции $y=x^4-4x^3$ точкой экстремума является x = 3 (минимум). Шаг 1: Исследование первой функции $y=x^4-8x^2+3$ Для нахождения точек экстремума вычислим производную функции: $y^{\prime }=(x^4-8x^2+3{)}^{\prime }=4x^3-16x$Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $4x^3-16x=0$ $4x(x^2-4)=0$ $4x(x-2)(x+2)=0$Критические точки: $x_1=0$, $x_2=2$, $x_3=-2$. Шаг 2: Определение характера экстремумов первой функции Определим знаки производной на интервалах:

1. На $(-\infty ,-2)$: $y^{\prime }\left(-3\right)=4\left(-27\right)-16\left(-3\right)=-108+48=-60<0$ (функция убывает). На $(-2,0)$: $y^{\prime }\left(-1\right)=-4+16=12>0$ (функция возрастает). На $(0,2)$: $y^{\prime }\left(1\right)=4-16=-12<0$ (функция убывает). На $(2,\infty )$: $y^{\prime }\left(3\right)=108-48=60>0$ (функция возрастает).

Точки, в которых производная меняет знак:

• В $x=-2$ знак меняется с "−" на "+": точка минимума. В $x=0$ знак меняется с "+" на "−": точка максимума. В $x=2$ знак меняется с "−" на "+": точка минимума.

Шаг 3: Исследование второй функции $y=x^4-4x^3$ Вычислим производную: $y^{\prime }=(x^4-4x^3{)}^{\prime }=4x^3-12x^2$Приравняем к нулю: $4x^2(x-3)=0$Критические точки: $x_1=0$, $x_2=3$. Анализ знаков $y^{\prime }=4x^2(x-3)$:

1. На $(-\infty ,0)$: $y^{\prime }\left(-1\right)=4\left(1\right)\left(-4\right)=-16<0$ (убывает). На $(0,3)$: $y^{\prime }\left(1\right)=4\left(1\right)\left(-2\right)=-8<0$ (убывает). На $(3,\infty )$: $y^{\prime }\left(4\right)=4\left(16\right)\left(1\right)=64>0$ (возрастает).

В точке $x=0$ производная не меняет знак (функция продолжает убывать), следовательно, это точка перегиба, а не экстремума. В точке $x=3$ знак меняется с "−" на "+": точка минимума. Ответ:

1. Точки экстремума: x = -2, x = 0, x = 2.
2. Точка экстремума: x = 3.

Нужно ли вам рассчитать значения функции в этих точках или исследовать их на выпуклость?