Log_0.2( x^2-2x-3)≤-1

Для решения логарифмического неравенства ${\log }_{0.2}(x^2-2x-3)\le -1$ необходимо выполнить три основных шага: определить область допустимых значений (ОДЗ), потенцировать неравенство и объединить полученные результаты. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x^2-2x-3>0$Найдем корни уравнения $x^2-2x-3=0$ через дискриминант или по теореме Виета:

• $D=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16$ $x_1=\frac{2+4}{2}=3$ $x_2=\frac{2-4}{2}=-1$

Решением неравенства $x^2-2x-3>0$ являются интервалы: $x\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty )$ 2. Решение неравенства Перепишем правую часть в виде логарифма по основанию $0.2$: $-1={\log }_{0.2}(0.2{)}^{-1}={\log }_{0.2}(5)$ Получаем неравенство: ${\log }_{0.2}(x^2-2x-3)\le {\log }_{0.2}\left(5\right)$Важно: так как основание логарифма $0.2<1$, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $x^2-2x-3\ge 5$Переносим все члены в левую часть: $x^2-2x-8\ge 0$Найдем корни уравнения $x^2-2x-8=0$:

• $D=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-8)=4+32=36$ $x_1=\frac{2+6}{2}=4$ $x_2=\frac{2-6}{2}=-2$

Решением неравенства $x^2-2x-8\ge 0$ являются интервалы: $x\in (-\infty ;-2]\cup [4;+\infty )$ 3. Пересечение с ОДЗ и итоговый ответ Сравним полученные интервалы с ОДЗ:

1. ОДЗ: $x\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty )$ Решение неравенства: $x\in (-\infty ;-2]\cup [4;+\infty )$

Интервалы $(-\infty ;-2]$ и $[4;+\infty )$ полностью входят в область допустимых значений, так как $-2<-1$ и $4>3$. Ответ: $x\in (-\infty ;-2]\cup [4;+\infty )$ Я могу также помочь с решением систем неравенств или исследованием функции $f\left(x\right)=x^2-2x-3$. Хотите разобрать что-то из этого?