Сравнить числа log 1/4 3/4 и log 1/4 4/5

Для сравнения чисел ${\log }_{1/4}\frac{3}{4}$ и ${\log }_{1/4}\frac{4}{5}$ необходимо воспользоваться свойствами логарифмической функции. 1. Анализ основания логарифма Рассматриваемые логарифмы имеют одинаковое основание $a=\frac{1}{4}$ . Согласно свойствам логарифмической функции $f\left(x\right)={\log }_{a}x$:

• Если $a>1$, функция является возрастающей. Если $0<a<1$, функция является убывающей.

Так как в данном случае $0<\frac{1}{4}<1$ , функция $f\left(x\right)={\log }_{1/4}x$ является строго убывающей на всей области определения $(x>0)$. 2. Сравнение аргументов Теперь сравним аргументы логарифмов: $x_1=\frac{3}{4}$ и $x_2=\frac{4}{5}$ . Для удобства сравнения приведем дроби к общему знаменателю (20):

• $\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 5}{4\cdot 5}=\frac{15}{20}$ $\frac{4}{5}=\frac{4\cdot 4}{5\cdot 4}=\frac{16}{20}$

Очевидно, что $\frac{15}{20}<\frac{16}{20}$ , следовательно: $\frac{3}{4}<\frac{4}{5}$ 3. Применение свойства убывающей функции Так как функция $f\left(x\right)={\log }_{1/4}x$ убывает, то при сравнении значений функции знак неравенства для аргументов меняется на противоположный:

Если $x_1<x_2$, то ${\log }_a{x}_1>{\log }_a{x}_2$ при $0<a<1$.

Следовательно: ${\log }_{1/4}\frac{3}{4}>{\log }_{1/4}\frac{4}{5}$ Ответ: ${\log }_{1/4}\frac{3}{4}>{\log }_{1/4}\frac{4}{5}$ Я могу помочь вам с решением других логарифмических неравенств или разбором свойств функций, если это потребуется.