Log0,2(12x+8) = log0,2(11x+7)

Для решения уравнения ${\log }_{0,2}(12x+8)={\log }_{0,2}(11x+7)$ воспользуемся методом приравнивания подлогарифмических выражений. 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Аргумент логарифма всегда должен быть строго больше нуля. Поэтому необходимо составить систему неравенств:

1. $12x+8>0⟹12x>-8⟹x>-\frac{8}{12}⟹x>-\frac{2}{3}$ $11x+7>0⟹11x>-7⟹x>-\frac{7}{11}$

Сравним дроби $-\frac{2}{3}$ и $-\frac{7}{11}$ . Приведя к общему знаменателю (33), получим $-\frac{22}{33}$ и $-\frac{21}{33}$ . Так как $-\frac{21}{33}>-\frac{22}{33}$ , общим условием для $x$ является: $x>-\frac{7}{11}$ 2. Решение уравнения Так как основания логарифмов равны ( $0,2$), мы можем приравнять выражения, стоящие под знаками логарифмов: $12x+8=11x+7$Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные числа — в правую: $12x-11x=7-8$ $x=-1$3. Проверка корня по ОДЗ Теперь проверим, удовлетворяет ли найденное значение $x=-1$ условию $x>-\frac{7}{11}$ . Число $-1$ находится левее на числовой прямой, чем $-\frac{7}{11}$ (поскольку $-1<-0,636$). Следовательно, значение $x=-1$ не входит в область допустимых значений. При подстановке $x=-1$ в исходное уравнение аргументы логарифмов становятся отрицательными:

• $12\left(-1\right)+8=-4$ $11\left(-1\right)+7=-4$

Логарифм отрицательного числа не определен в области действительных чисел. Ответ: Решений нет (пустое множество). Я могу помочь вам решить аналогичное логарифмическое уравнение или систему неравенств — нужно ли разобрать другой пример?