Найдите область определения y=√log7 (x^2+1.5x)

Для нахождения области определения функции $y=\sqrt{{\log }_7(x^2+1.5x)}$ необходимо учесть два основных ограничения: выражение под корнем должно быть неотрицательным, а выражение под знаком логарифма — строго положительным. 1. Составление системы неравенств Область определения задается следующей системой условий:

1. Условие подкоренного выражения: ${\log }_7(x^2+1.5x)\ge 0$ Условие логарифмируемого выражения: $x^2+1.5x>0$

2. Решение первого неравенства Решим ${\log }_7(x^2+1.5x)\ge 0$. Так как основание логарифма $7>1$, логарифмическая функция возрастает, и мы можем перейти к неравенству для аргументов, представив $0$ как ${\log }_7\left(1\right)$: $x^2+1.5x\ge 1$ $x^2+1.5x-1\ge 0$Найдем корни квадратного уравнения $x^2+1.5x-1=0$ через дискриминант: $D=(1.5{)}^2-4\cdot 1\cdot (-1)=2.25+4=6.25=(2.5{)}^2$ $x_1=\frac{-1.5+2.5}{2}=0.5$ $x_2=\frac{-1.5-2.5}{2}=-2$ Следовательно, решением неравенства $x^2+1.5x-1\ge 0$ являются интервалы: $x\in (-\infty ;-2]\cup [0.5;+\infty )$ 3. Решение второго неравенства Решим $x^2+1.5x>0$: $x(x+1.5)>0$Корни уравнения: $x=0$ и $x=-1.5$. Методом интервалов получаем: $x\in (-\infty ;-1.5)\cup (0;+\infty )$ 4. Нахождение пересечения решений Нам нужно найти общие значения $x$ для обоих условий:

1. $x\in (-\infty ;-2]\cup [0.5;+\infty )$ $x\in (-\infty ;-1.5)\cup (0;+\infty )$

Сравним границы:

• Число $-2$ меньше $-1.5$, поэтому луч $(-\infty ;-2]$ полностью входит в область $(-\infty ;-1.5)$. Число $0.5$ больше $0$, поэтому луч $[0.5;+\infty )$ полностью входит в область $(0;+\infty )$.

Таким образом, пересечением является первое множество. Ответ: Область определения функции: $D\left(y\right)=(-\infty ;-2]\cup [0.5;+\infty )$ Хотите, чтобы я проверил еще одну функцию или подробно расписал метод интервалов для этих неравенств?