Log0.5(2x^2+3x+1) меньше или равно 2log0.5(x-1)

Решением неравенства является интервал $(1,+\infty )$. Шаг 1: Определение области допустимых значений (ОДЗ) Для логарифмического выражения аргумент должен быть строго больше нуля. Составим систему неравенств:

1. $2x^2+3x+1>0$ $x-1>0$

Решим второе неравенство: $x>1$. Проверим первое неравенство при условии $x>1$: так как все коэффициенты положительны, при $x>1$ выражение $2x^2+3x+1$ всегда будет больше нуля. Следовательно, ОДЗ: $x\in (1,+\infty )$. Шаг 2: Преобразование и решение неравенства Используем свойство логарифма $n{\log }_a\left(b\right)={\log }_a\left(b^n\right)$: ${\log }_{0.5}(2x^2+3x+1)\le {\log }_{0.5}\left(\right(x-1{)}^2)$Так как основание логарифма $0.5<1$, при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный: $2x^2+3x+1\ge (x-1{)}^2$ $2x^2+3x+1\ge x^2-2x+1$Перенесем все члены в левую часть: $x^2+5x\ge 0$ $x(x+5)\ge 0$Корни соответствующего уравнения: $x_1=0$ и $x_2=-5$. Методом интервалов определяем решение квадратичного неравенства: $x\in (-\infty ,-5]\cup [0,+\infty )$. Шаг 3: Пересечение решения с ОДЗ Необходимо найти общие значения для полученного решения и области допустимых значений:

1. Решение: $x\in (-\infty ,-5]\cup [0,+\infty )$ ОДЗ: $x\in (1,+\infty )$

При наложении этих условий остается только интервал $(1,+\infty )$. Ответ: x \in (1, +\infty) Нужно ли вам графическое представление решения или помощь с другими типами логарифмических неравенств?