Найти промежутки роста и убывания и экстремумы функций f(x)= x^2+3x /x-1

Функция возрастает на промежутках $(-\infty ,-1]$ и $[3,+\infty )$, убывает на промежутках $[-1,1)$ и $(1,3]$. Точка локального максимума $x=-1$ при $f\left(-1\right)=1$, точка локального минимума $x=3$ при $f\left(3\right)=9$. Шаг 1: Область определения и нахождение производной Функция $f\left(x\right)=\frac{x^2+3x}{x-1}$ определена при всех $x$, кроме тех, где знаменатель обращается в ноль. Следовательно, область определения: $D\left(f\right)=(-\infty ,1)\cup (1,+\infty )$. Для поиска промежутков монотонности вычислим производную функции по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ : $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{(2x+3)(x-1)-(x^2+3x)\cdot 1}{(x-1{)}^2}$ Раскроем скобки в числителе: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{2x^2-2x+3x-3-x^2-3x}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}$ Шаг 2: Нахождение критических точек Критические точки — это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Приравняем числитель к нулю: $x^2-2x-3=0$Решим квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета: $x_1=3$, $x_2=-1$. Обе точки входят в область определения функции. Также учтем точку разрыва $x=1$. Шаг 3: Интервалы монотонности и экстремумы Определим знаки производной на интервалах, разделенных точками $-1$, $1$ и $3$:

1. На $(-\infty ,-1)$: $f^{\prime }\left(-2\right)=\frac{4+4-3}{9}>0$ — функция возрастает. На $(-1,1)$: $f^{\prime }\left(0\right)=\frac{-3}{1}<0$ — функция убывает. На $(1,3)$: $f^{\prime }\left(2\right)=\frac{4-4-3}{1}<0$ — функция убывает. На $(3,+\infty )$: $f^{\prime }\left(4\right)=\frac{16-8-3}{9}>0$ — функция возрастает.

Экстремумы:

• При переходе через $x=-1$ знак производной меняется с $+$ на $-$, это максимум: $f\left(-1\right)=\frac{(-1{)}^2+3(-1)}{-1-1}=\frac{1-3}{-2}=1$ . При переходе через $x=3$ знак производной меняется с $-$ на $+$, это минимум: $f\left(3\right)=\frac{3^2+3\cdot 3}{3-1}=\frac{18}{2}=9$ .

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty ,-1]$ и $[3,+\infty )$, убывает на $[-1,1)$ и $(1,3]$. Точка максимума $x=-1,f\left(-1\right)=1$. Точка минимума $x=3,f\left(3\right)=9$. Желаете ли вы провести полное исследование функции, включая поиск асимптот и построение графика?