Sin^2x+sin^2(2x)=cos^2(3x)+cos^2(4x)

Для решения уравнения ${\sin }^{2}x+{\sin }^{2}2x={\cos }^{2}3x+{\cos }^{2}4x$ воспользуемся формулами понижения степени: ${\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$ ${\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}$ Подставим их в уравнение: $\frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{1-\cos 4x}{2}=\frac{1+\cos 6x}{2}+\frac{1+\cos 8x}{2}$ Умножим обе части на 2: $1-\cos 2x+1-\cos 4x=1+\cos 6x+1+\cos 8x$ $2-(\cos 2x+\cos 4x)=2+\cos 6x+\cos 8x$ Вычтем 2 из обеих частей и перенесем все слагаемые в одну сторону: $\cos 8x+\cos 6x+\cos 4x+\cos 2x=0$ Применим формулу суммы косинусов $\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$ для пар $(8x,2x)$ и $(6x,4x)$: $(\cos 8x+\cos 2x)+(\cos 6x+\cos 4x)=0$ $2\cos 5x\cos 3x+2\cos 5x\cos x=0$ Вынесем общий множитель $2\cos 5x$ за скобки: $2\cos 5x(\cos 3x+\cos x)=0$ Снова применим формулу суммы косинусов для выражения в скобках: $2\cos 5x\left(2\cos 2x\cos x\right)=0$ $4\cos 5x\cos 2x\cos x=0$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $\cos 5x=0$
   $5x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$
   $x=\frac{\pi }{10}+\frac{\pi k}{5},k\in \mathbb{Z}$ $\cos 2x=0$
   $2x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$
   $x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}$ $\cos x=0$
   $x=\frac{\pi }{2}+\pi m,m\in \mathbb{Z}$

Заметим, что корни третьего уравнения $x=\frac{\pi }{2}+\pi m$ уже содержатся в корнях первого уравнения при $k=5m+2$: $\frac{\pi }{10}+\frac{\pi (5m+2)}{5}=\frac{\pi }{10}+\pi m+\frac{2\pi }{5}=\frac{\pi +4\pi }{10}+\pi m=\frac{\pi }{2}+\pi m$ . Ответ: $x=\frac{\pi }{10}+\frac{\pi k}{5},k\in \mathbb{Z}$ $x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}$ Вы можете проверить решение или визуализировать корни с помощью графического калькулятора Desmos или вычислительного ресурса WolframAlpha. Сообщите, если вам требуется разбор аналогичного уравнения или проверка ОДЗ для более сложных функций.