Log7(x) - 1=6 logx(7)

Для решения уравнения ${\log }_7\left(x\right)-1=6{\log }_x\left(7\right)$ выполните следующие шаги: 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Логарифм определен только для положительных чисел, а основание логарифма должно быть положительным и не равным единице.

• Аргумент логарифма: $x>0$. Основание логарифма: $x\ne 1$.
  ОДЗ: $x\in (0;1)\cup (1;+\infty )$.

2. Преобразование уравнения Используем свойство перехода к новому основанию: ${\log }_a\left(b\right)=\frac{1}{{\log }_b\left(a\right)}$ . Заменим ${\log }_x\left(7\right)$ на $\frac{1}{{\log }_7\left(x\right)}$ : ${\log }_7\left(x\right)-1=\frac{6}{{\log }_7\left(x\right)}$ 3. Введение новой переменной Пусть $t={\log }_7\left(x\right)$. Тогда уравнение принимает вид: $t-1=\frac{6}{t}$ 4. Решение квадратного уравнения Умножим обе части уравнения на $t$ (при условии $t\ne 0$, что соответствует $x\ne 1$): $t^2-t-6=0$Найдем корни через дискриминант или по теореме Виета:

• Сумма корней: $t_1+t_2=1$ Произведение корней: $t_1\cdot t_2=-6$
  Корни уравнения: $t_1=3$ и $t_2=-2$.

5. Обратная замена Вернемся к переменной $x$, используя определение логарифма ( $a^y=x$):

1. ${\log }_7\left(x\right)=3$
   $x=7^3$
   $x_1=343$ ${\log }_7\left(x\right)=-2$
   $x=7^{-2}$
   $x=\frac{1}{7^2}$
   $x_2=\frac{1}{49}$

6. Проверка ОДЗ Оба полученных значения ( $343$ и $\frac{1}{49}$ ) положительны и не равны $1$, следовательно, они являются корнями уравнения. Ответ: $1/49;343$. Нужно ли вам графическое решение этого уравнения или помощь с другими логарифмическими задачами?