Cos(2x-3п/2) + 2 корня из 3 cos^2x=0

Для решения уравнения $\cos (2x-\frac{3\pi }{2})+2\sqrt{3}{\cos }^{2}x=0$ воспользуемся формулами приведения и тригонометрическими тождествами. 1. Упрощение первого слагаемого Используем формулу приведения для $\cos (\alpha -\frac{3\pi }{2})$ . Согласно правилам:

• Угол $\frac{3\pi }{2}$ меняет функцию на кофункцию: $\cos \sin$. Угол $(2x-\frac{3\pi }{2})$ находится в III четверти (если считать $2x$ острым), где косинус отрицателен. Однако удобнее представить аргумент как $-(\frac{3\pi }{2}-2x)$ . Так как $\cos (-\alpha )=\cos \alpha$:
  $\cos (2x-\frac{3\pi }{2})=\cos (\frac{3\pi }{2}-2x)=-\sin \left(2x\right)$

2. Преобразование уравнения Теперь подставим полученное выражение в исходное уравнение: $-\sin \left(2x\right)+2\sqrt{3}{\cos }^{2}x=0$ Применим формулу синуса двойного угла $\sin \left(2x\right)=2\sin x\cos x$: $-2\sin x\cos x+2\sqrt{3}{\cos }^{2}x=0$ 3. Разложение на множители Разделим уравнение на 2 и вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки: $\cos x\cdot (-\sin x+\sqrt{3}\cos x)=0$ Это уравнение распадается на два случая: Случай А: $\cos x=0$ $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\text{где}n\in \mathbb{Z}$ Случай Б: $-\sin x+\sqrt{3}\cos x=0$ Перенесем синус в правую часть: $\sqrt{3}\cos x=\sin x$ Разделим обе части на $\cos x$ (при условии $\cos x\ne 0$, что выполняется, так как если $\cos x=0$, то и $\sin x$ должен быть равен $0$, что невозможно по основному тождеству): $\text{tg}x=\sqrt{3}$ $x=\frac{\pi }{3}+\pi k,\text{где}k\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=\frac{\pi }{2}+\pi n;x=\frac{\pi }{3}+\pi k;n,k\in \mathbb{Z}$ Если вам необходимо произвести отбор корней на конкретном промежутке, я могу помочь с этим расчетом.